Lösung des Rätsels "Quadrat aus 20 Dreiecken" (nicht auf dem "Matheplaneten")

Wenn die Katheten der Dreiecke z. B. 1 cm und 2 cm lang sind, ist ihre Hypotenuse √5 cm lang, und die Fläche beträgt 1 cm². Das gesuchte Quadrat hat 20 cm² Fläche; demzufolge ist die Quadratseite √(20) cm = 2√5 cm lang, d. h. doppelt so lang wie eine Dreieckshypotenuse. Es empfiehlt sich also, als erstes zwei Dreiecke nicht mit den Seiten, sondern mit den Ecken zusammen zu legen, und zwar so, daß ihre Hypotenusen ohne Knick ineinander übergehen. Sie ergeben dann eine Quadratseite.
Die Dreiecke, aus denen die Seiten des Quadrats bestehen, können einheitlich zueinander liegen, indem zwei aufeinander folgende, sich berührende Katheten stets einen rechten Winkel einschließen, s. u. Es gibt aber noch zwei andere Möglichkeiten mit den Winkeln ca. 127° und 53° ¹⁾, wie in der folgenden Figur angedeutet:

Hiervon wird bei diesen beiden Rätsellösungen Gebrauch gemacht:
²⁾   
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¹⁾ folgt aus arctan2≈63,4349°
²⁾ vergrößert

Viele weitere, mit oder ohne Symmetrieeigenschaften, ergeben sich durch Drehen und Spiegeln der Figuren sowie durch Vertauschung einzelner Teile.
Die zwei folgenden Lösungen stammen von einem Mitglied des Matheplaneten:



Die Berandung ist hier einheitlich. Gezeichnet wurden die Bilder mit dem Graphikprogramm Pov-Ray. Durch die räumlich wirkenden "Bausteine" und das Aussehen ihrer Oberflächen erinnern sie an ein abwechslungsreiches Legespiel, das es womöglich noch gar nicht gibt.

Anmerkung:
Das Rätsel ist nicht trivial. Zu ihm angeregt wurde ich durch diese Figur:

Sie gehört zu einer Webseite, deren Adresse ich vergessen habe und leider nicht mehr wiederfinden kann.

Fortsetzung
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