Induktives Vorgehen beim Auffinden von Gesetzmäßigkeiten ist in der Physik wie in der Mathematik verbreitet und führt oftmals, aber nicht immer, zu brauchbaren Ergebnissen. Ein Beispiel, bei dem es funktioniert, ist die Addition der Kuben aufeinander folgender natürlicher Zahlen. Dabei ergibt sich:
13=12, 13+23=32, 13+23+33=62, 13+23+33+43=102,
und die Vermutung liegt nahe, daß für jedes natürliche n gilt:
13+23+33+...+n3=dn2, wobei dn=1+2+3+...+n
die n-te der Zahlen 1,3,6,10,... ist, die, weil man sie so
veranschaulichen kann, Dreieckszahlen heißen.
Gesetzmäßigkeiten, die durch ein paar Anfangsbeispiele, d. h. unvollständig induktiv, gefunden wurden, müssen anschließend mit Hilfe der vollständigen Induktion oder auf anderem Wege allgemein bewiesen werden. Wird darauf verzichtet, gerät man unter Umständen in eine böse Falle.
Bei den Dreieckszahlen fand nach einer oft zitierten Anekdote der erst neunjährige Gauß heraus, daß sie sich für jedes natürliche n mit dem Term n(n+1)/2 viel leichter als durch stures Aufsummieren berechnen lassen. Dabei wendete er ein eigenes, nicht-induktives Verfahren an, das seinem Lehrer unbekannt war und ihn sehr beeindruckte.
Liegt ein auf analytischen oder konstruktiven Überlegungen beruhendes Beweisverfahren nicht auf der Hand und findet man auch bei angestrengtem Nachdenken nichts dergleichen, bleibt einem kaum anderes übrig, als den induktiven Weg zu versuchen. Dies soll bei der folgenden geometrischen Aufgabe geschehen:
In wieviele Teile wird die Fläche eines Kreises durch die Diagonalen eines auf dem Kreisumfang liegenden, regelmäßigen n-Ecks zerlegt?
Um für den Anfang möglichst viel Zahlenmaterial zu haben, betrachten wir dabei auch das "Eineck" und "Zweieck":
xxxxx
Bei diesen fünf Figuren ist die Antwort einfach: bedeutet n die Anzahl der Ecken, dann wird der Kreis in 2n-1 Bereiche zerlegt.
Doch Vorsicht! Beim nächsten Schritt erhält man statt der erwarteten 32 Teile nur 30 (wir haben sechs Sektoren mit fünf Feldern):
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
Der gefundene Term 2n-1 ist für n>5 falsch – die Induktivfalle hat zugeschnappt! Wodurch muß man ihn bei beliebigem n ersetzen,
und wie läßt sich das begründen?
Hans-Jürgen
|
Re: Induktivfalle |
|
|
|
Re:
Induktivfalle |
|
|
|
Re:
Induktivfalle |
|
|
|
Re:
Induktivfalle |
|
|
|
Re:
Induktivfalle |
|
|
|
Re:
Induktivfalle |
|
Hi,
|
)
|
Re:
Induktivfalle |
|
erhalten, weil ich nicht - wie du - an die Binomialkoeffizienten gedacht
hatte. |
------------------------------ 1) s. Anhang, nicht auf dem MP
annimmt. Dies lässt sich mit dem Pascalschen Dreieck veranschaulichen:
(mehr dazu s. a. hier)
Wie oben vermerkt, bezieht sich das Vorstehende auf regelmäßige Vielecke mit ungerader Eckenzahl (mit Ausnahme des Quadrats). Deshalb sind nur die schwarzen Zahlen hinter den Zeilen mit den blauen Feldern Lösungen der gestellten Aufgabe. Zwar erfüllen auch die Zahlen hinter den Zeilen mit den roten Feldern die Gl. (2); aber die Teilflächenanzahlen stimmen nicht:
Die Zahlen in Klammern sind die aus der Tabelle.
In diesem Video wird eine lange Formel für Eckenzahlen n≥3 gezeigt:
ohne Erklärung, was die darin verwendeten Delta-Symbole bedeuten. Sie stammt aus einem ausführlichen, nicht leicht lesbaren Artikel von B. Poonen und M. Rubinstein.
Anmerkung: die n-Ecke mit gerader Eckenzahl ab n=6 unterscheiden sich von denjenigen mit ungerader Eckenzahl grundsätzlich dadurch, dass sich bei ihnen mindestens einmal mehr als zwei Diagonalen in einem Punkt schneiden. Deshalb sind die für sie geltenden Formeln für die Anzahl der Teilbereiche länger und komplizierter als Gl. (2). Diese hat als Voraussetzung, dass sich immer nur zwei Diagonalen schneiden, s. o. bei ♠
Zurück zur Themenübersicht