Eine diophantische Aufgabe mit Potenzen

Gesucht sind alle Paare (x;y) natürlicher Zahlen x, y, für die gilt: xy = yx, x≠y.

Dies ist eine alte Aufgabe aus dem 18. Jahrhundert * , die hier auf dem Matheplaneten erneut gestellt wurde.

Bedingung war, dass nur Mittel verwendet werden, über die Schüler der 9. Klasse verfügen, d. h. keine Logarithmen (und keine Differentialrechnung, von der in den anschließenden Diskussionsbeiträgen teilweise die Rede war).

Zahlenpaare (x;y) mit gleichem x und y heißen "trivial" und sind uninteressant. Das kleinste nicht-triviale Paar (2;4) mit dem wegen der Symmetrie in x und y zugehörigen Paar (4;2) findet man am einfachsten durch Raten. Ob es noch mehr nicht-triviale gibt, war zu untersuchen.

Sei y=x+k, k∈ℕ, dann gilt:   xx+k = (x+k)x und somit

Wenn x und k natürliche Zahlen sein sollen, ist die linke Seite von (1) eine natürliche Zahl. Damit dies auch für die rechte gilt, muss (weil der Exponent x∈ℕ ist) auch der Inhalt der Klammer natürlich sein.1 Das aber bedeutet, dass auch k/x diese Eigenschaft hat, d. h., k ist ein Vielfaches von x:   k=mx, m∈ℕ. Damit wird
xm = 1 + m .    (2)

Für m=1 ist x=2, k=2, y=4; das ist das kleinste nicht-triviale Lösungspaar (2;4).


die sämtlich keine natürlichen Zahlen sind. (Sie sind sogar irrational, was aber hier keine Rolle spielt.) Somit gibt es außer dem für m=1 gefundenen nicht-trivialen Lösungspaar kein weiteres.

---------------------------------------
1 Ist der Inhalt der Klammer ein Bruch (mit Nenner ≠1), dann ändert sich daran nichts, wenn er mit x∈ℕ potenziert wird.
Das heißt, in diesem Fall bleibt die rechte Seite von (1) im Gegensatz zur linken stets eine Zahl ∉ℕ.
Denkbar ist noch, dass der Inhalt der Klammer irrational ist, z. B. eine Wurzel wie √3. Dann erhält man mit x=2 zwar auf
der rechten Seite 3∈ℕ, aber nun ist die linke Seite keine natürliche Zahl mehr.

Zurück zur Übersichtsseite, Teil 1