Gegeben ein beliebiges, schiefwinkliges Dreieck. Von den Ecken geht je eine Strecke bis zum ersten Drittel der jeweils gegenüberliegenden Seite, entprechend dieser Figur:



Wie groß ist der Flächeninhalt des grauen Dreiecks im Verhältnis zur Fläche des Gesamtdreiecks?

(Aus: Hugo Steinhaus "Kaleidoskop der Mathematik". Dort wird eine Lösung ohne Rechnung gezeigt – ich hab's gerechnet.)



Wird ein Dreieck OAB von den Ortsvektoren a,b mit den Beträgen a,b aufgespannt, gilt für seinen Flächeninhalt:



Diese Formel habe ich sowohl auf das große Dreieck wie auf das kleine mit den Seitenvektoren u und v angewendet.
Dabei ergab sich, daß die Fläche des kleinen Dreiecks ein Siebtel der Fläche des großen beträgt.

(Anm.: die in der Figur nicht eingezeichneten Ortsvektoren der Punkte P,Q,R wurden in der üblichen Weise bestimmt: Aufstellung je einer geschlossenen Vektorkette mit zwei zunächst unbekannten Skalaren, deren Werte sich aus einem linearen Gleichungssystem ergeben.)

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