Über das Sierpiński- und das Pascaldreieck

Das Sierpiński-Dreieck ist die bekannte Strichfigur:


Man kann es auf (mindestens) zwei verschiedene Weisen annähern.
Zum einen mittels Zufallszahlen als Fraktal:


zum andern mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks:



Bei dieser Figur, die dem Sierpiński-Dreieck nicht genau entspricht, ihm aber im Aussehen ähnelt, werden die Binomialkoeffizienten nicht mit ihren Zahlenwerten wiedergegeben, sondern als kleine Kreise angedeutet.
Die durch 5 teilbaren sind rot gefärbt.

Weitere Beispiele sind hier zu sehen:



Alle Teiler der rot markierten Binomialkoeffizienten sind Primzahlen >3.

Die Ähnlichkeit mit dem Sierpiński-Dreieck nimmt ab oder geht ganz verloren, wenn man zusammengesetzte Zahlen betrachtet,

  

doch ist das nicht bei allen der Fall, wie die nächsten beiden Beispiele zeigen:

  

Durch sie kann man vermuten, daß sich sierpiński-ähnliche Pascaldreiecke ergeben, wenn die zusammengesetzten Teiler das Quadrat von Primzahlen sind. Das allerdings beginnt erst mit dem Teiler t=25=5·5; für t=9=3·3 ergibt sich kein sierpiński-ähnliches Dreieck, weil auch das für t=3 kein solches ist.

Die vorstehenden Bilder erzeugte ich mit TurboPascal. Sehr viel weiter als hiermit bis t=49=7·7 kommt man mit einem Programm von Arndt Brünner. Die damit von mir untersuchten Beispiele bestätigen die obige Vermutung, was natürlich kein Beweis für sie ist.

Hans-Jürgen

Re: Sierpiński- und Pascal-Dreieck
von Gonzbert am Sa. 19. März 2005 11:54:59


Hallo Hans-Jürgen! :)

Schöner Artikel! Mit welchem Programm hast du denn die Bilder erstellt? Ein selbstgeschriebenes Programm oder mit irgendeinem CAS?

Viele Grüße


Re: Sierpiński- und Pascal-Dreieck
von Martin_Infinite am Sa. 19. März 2005 16:49:42 http://www.wolkenkratzerseite.de


Hi Hans-Jürgen,

hier hattest du uns ja schon einen Vorgeschmack gegeben :D

Sehr interessant! Kannst du vielleicht den Code deines Programmes posten? Dann muss das nicht jeder selbst machen ;)

@Gonzo: Pascal-Dreieck? ;)

Gruß
Martin


Re: Sierpiński- und Pascal-Dreieck
von Rebecca am Sa. 19. März 2005 18:39:17


Hallo Hans-Jürgen,

eine interessante Frage, gefunden habe ich bis auf Link 1 und Link 2 nichts darüber.

Wer selber Muster erzeugen will, kann diesen Link benutzen.

Gruß
Rebecca


Re: Sierpiński- und Pascal-Dreieck
von Hans-Juergen am Sa. 19. März 2005 18:40:04 http://www.hjcaspar.de


Hi Gonzo, hi Martin,

so habe ich's mit Turbo Pascal 5.0 gemacht:

program binko; {Pascal-Dreieck mit farbigen Punkten}
uses crt, graph;

var fa,t,x,y:integer;
m,n:longint;
b: array[0..60,0..60] of longint;
ch:char;
s:string;

procedure graphinit;
var graphdriver, graphmode: integer;
begin
graphdriver:= detect;
initgraph(graphdriver,graphmode,'');
setgraphmode(graphmode);
setbkcolor(15);
end;

procedure dreieck;
begin
for t:=2 to 31 do
begin
str(t,s);
setcolor(9);
outtextxy(10,20,'Pascal-Dreieck:');
outtextxy(10,30,'Durch t teilbare');
outtextxy(10,40,'Binomialkoeffizienten');
outtextxy(10,50,'rot gef„rbt. (t=1...31)');
outtextxy(10,60,'Weiter mit der Leertaste.');
outtextxy(10,70,'Aufh”ren mit A.');
outtextxy(60,120,'t=');outtextxy(76,120,s);
for y:=60 downto 26 do
begin
for x:=0 to 59-y do
begin
n:=60-y;m:=x+1;
if (m=1) or (m=n) then
b[n,m]:=1
else
b[n,m]:=b[n-1,m-1]+b[n-1,m];
if b[n,m] mod t=0 then fa:=12 else fa:=9;
setcolor(fa);setfillstyle(1,fa);
fillellipse(16*x+8*y-150,650-10*y,5,5);
end;
end;
repeat ch:=readkey until (ch=' ') or (ch='a');
if ch=' ' then cleardevice;
if ch='a' then closegraph;
end;
closegraph;
end;

begin
graphinit;
dreieck;
end.

Herzliche Grüße,
Hans-Jürgen



Nachtrag (nicht auf dem Matheplaneten): auf der von Rebecca verlinkten Wikipedia-Seite (Link 1) wird unter "Einzelnachweise 2" ein SPIEGEL-Artikel von 2009 zitiert (http://www.spiegel.de/fotostrecke/muschelgehaeuse~
fotostrecke-46503-8.html
), aus dem das folgende Bild stammt:



Es zeigt, daß sierpiński-ähnliche Muster auch in der Natur vorkommen.

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