Neujahrsrätsel (2004)
Gesucht sind zwei durch 4 teilbare natürliche Zahlen
zwischen 100 und 1000, für die folgendes gilt:
Multipliziert man die erste mit der Quersumme der
zweiten und die zweite mit der Quersumme der ersten,
dann ist die Summe der beiden Produkte gleich 2004.

Lösung:

Sei n₁=100a₁+10a₂+a₃   n₂=100b₁+10b₂+b₃   q₁=a₁+a₂+a₃   q₂=b₁+b₂+b₃
sowie n₁=4r, n₂=4s mit r,s∈ℕ. Dann soll gelten:
n₁q₂+n₂q₁=2004, d. h.:
(100a₁+10a₂+a₃)(b₁+b₂+b₃)+(100b₁+10b₂+b₃)(a₁+a₂+a₃)=2004   (1)

Wegen der sechs Unbekannten a₁,a₂,a₃,b₁,b₂,b₃ und zu wenigen Gleichungen für sie ist man auf gezieltes Raten angewiesen.
Dabei besteht viel Spielraum, die Ziffern a₁ bis b₃ frei zu wählen.

Setzt man als erstes a₃=0, vereinfacht sich Gl.(1) zu
(100a₁+10a₂)(b₁+b₂+b₃)+(100b₁+10b₂+b₃)(a₁+a₂)=2004.    (2)

Eine weitere Vereinfachungsmöglichkeit ergibt sich, wenn man die letzte Klammer in (2) gleich dem Teiler 3 von 2004 setzt: ¹
a₁+a₂=3 ⇔ a₂=3-a₁    (3)
Damit folgt aus (2):
3(30a₁+10)(b₁+b₂+b₃)+3(100b₁+10b₂+b₃)=2004
  (30a₁+10)(b₁+b₂+b₃)+100b₁+10b₂+b₃=668.

Wegen der Einerziffer 8 auf der rechten Seite setze ich b₃=8 und erhalte:
10(3a₁+1)(b₁+b₂+8)+100b₁+10b₂=660,
    (3a₁+1)(b₁+b₂+8)+10b₁+b₂=66.    (4)

Geht man hier entsprechend wie bei der Endziffer 8 von 668 vor und setzt versuchsweise b₂=6, führt das auf
(3a₁+1)(b₁+14)+10b₁=60, was, nach b₁ aufgelöst, b₁=(46-42a₁)/(3a₁+11) ergibt. Mit a₁=1,2,3,....,9 entstehen für b₁ keine
natürlichen Zahlen (Ziffern); der Ansatz b₂=6 ist nicht hilfreich. Deshalb wende ich mich nun in Gl.(4) der Ziffer a₁ zu
und beginne mit ihrem kleinsten Wert:  a₁=1. Dann lautet (4):  4(b₁+b₂+8)+10b₁+b₂=66 ⇔ 14b₁+5b₂=34. Wegen der
Ähnlichkeit mit 14+20=34 liegt es nahe, b₁=1, b₂=4 zu raten. - Aus a₁=1 folgt mit (3) schließlich noch a₂=2.

Zusammenfassung, Ergebnis:
a₁=1  a₂=2  a₃=0  b₁=1  b₂=4  b₃=8  ⇒  n₁=120  n₂=148,   q₁=3, q₂=13.   Probe: 120·13+148·3=1560+444=2004.

Es gibt keine weiteren Lösungen des Rätsels. Am besten beweist man das mit dem Computer.

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¹ Experimentiert habe ich auch mit den Teilern 2 und 4, kam aber nur mit der 3 zügig voran und zum Ziel.

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