Neujahrsrätsel (2004)
Gesucht sind zwei durch 4 teilbare natürliche Zahlen
zwischen 100 und 1000, für die folgendes gilt:
Multipliziert man die erste mit der Quersumme der
zweiten und die zweite mit der Quersumme der ersten,
dann ist die Summe der beiden Produkte gleich 2004.
Lösung:
Sei n1=100a1+10a2+a3 n2=100b1+10b2+b3 q1=a1+a2+a3 q2=b1+b2+b3
sowie n1=4r, n2=4s mit r,s∈ℕ. Dann soll gelten:
n1q2+n2q1=2004, d. h.:
(100a1+10a2+a3)(b1+b2+b3)+(100b1+10b2+b3)(a1+a2+a3)=2004 (1)
Wegen der sechs Unbekannten a1,a2,a3,b1,b2,b3 und zu wenigen Gleichungen für sie
ist man auf gezieltes Raten angewiesen.
Dabei besteht viel Spielraum, die Ziffern a1 bis b3 frei zu wählen.
Setzt man als erstes a3=0, vereinfacht sich Gl.(1) zu
(100a1+10a2)(b1+b2+b3)+(100b1+10b2+b3)(a1+a2)=2004. (2)
Eine weitere Vereinfachungsmöglichkeit ergibt sich, wenn man die letzte Klammer in (2) gleich dem Teiler 3 von 2004 setzt: ¹
a1+a2=3 ⇔ a2=3-a1 (3)
Damit folgt aus (2):
3(30a1+10)(b1+b2+b3)+3(100b1+10b2+b3)=2004
(30a1+10)(b1+b2+b3)+100b1+10b2+b3=668.
Wegen der Einerziffer 8 auf der rechten Seite setze ich b3=8 und erhalte:
10(3a1+1)(b1+b2+8)+100b1+10b2=660,
(3a1+1)(b1+b2+8)+10b1+b2=66. (4)
Geht man hier entsprechend wie bei der Endziffer 8 von 668 vor und setzt versuchsweise b2=6, führt das auf
(3a1+1)(b1+14)+10b1=60, was, nach b1 aufgelöst, b1=(46-42a1)/(3a1+11) ergibt. Mit a1=1,2,3,....,9 entstehen für b1 keine
natürlichen Zahlen (Ziffern); der Ansatz b2=6 ist nicht hilfreich. Deshalb wende ich mich nun in Gl.(4) der Ziffer a1 zu
und beginne mit ihrem kleinsten Wert: a1=1. Dann lautet (4): 4(b1+b2+8)+10b1+b2=66 ⇔ 14b1+5b2=34. Wegen der
Ähnlichkeit mit 14+20=34 liegt es nahe, b1=1, b2=4 zu raten. - Aus a1=1 folgt mit (3) schließlich noch a2=2.
Zusammenfassung, Ergebnis:
a1=1 a2=2 a3=0 b1=1 b2=4 b3=8 ⇒ n1=120 n2=148, q1=3, q2=13. Probe: 120·13+148·3=1560+444=2004.
Es gibt keine weiteren Lösungen des Rätsels. Am besten beweist man das mit dem Computer.
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¹ Experimentiert habe ich auch mit den Teilern 2 und 4, kam aber nur mit der 3 zügig voran und zum Ziel.
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