Palindromzahlen

In Rebeccas Knobelaufgabe "Differenzengleichung" und meinem Rätsel "Spiegelzahlen" kommt man, ohne daß sie dort als solche bezeichnet werden, mit Palindromzahlen in Berührung. "Palindrome" nennt man einzelne Wörter oder ganze Sätze, die sich vor- und rückwärts gleich lesen. Bekannte Beispiele sind "reliefpfeiler" und "ein neger mit gazelle zagt im regen nie". Palindromzahlen sind Zahlen mit derselben Eigenschaft. Über sie scheint nicht allzuviel bekannt zu sein; die Eintragungen bei google sind wenig ergiebig.


Einzelne Palindromzahlen lassen sich durch Quadrieren gewinnen:

n

n

11

121

10001

100020001

22

484

10101

102030201

26

676

10201

104060401

101

10201

11011

121242121

111

12321

11111

123454321

121

14641

11211

125686521

202

40804

20002

400080004

212

44944

20102

404090404

264

69696

22865

522808225

307

94249

24846

617323716

836

698896

30693

942060249

1001

1002001

100001

10000200001

1111

1234321

101101

10221412201

2002

4008004

110011

12102420121

2285

5221225

111111

12345654321

2636

6948496

200002

40000800004

798644

 637832238736


Eine Palindromzahl, die alle Ziffern außer der 0 enthält,
ist 1111111112 = 12345678987654321. Dies deutet sich
bereits in der Tabelle an.

Auch Kubikzahlen können palindrom sein:

n

7

343

11

1331

101

1030301

111

1367631

1001

1003003001

2201

10662526601

10001

1000300030001

10101

1030607060301

11011

1334996994331


Aus der ersten Tabelle lassen sich mit ausgewählten Palindromzahlen
durch Addition neue bilden, wie z. B. diese:

121+676=797
12321+14641=26962
69696+10201=79897

Addiert man palindrome Quadrat- und Kubikzahlen (also Zahlen aus
der ersten und zweiten Tabelle), kann ebenfalls eine Palindromzahl
entstehen:

5221225+1367631=6588856.

Soviel als kleiner Anfang. Vielleicht ergeben sich daraus interessante Diskussionen und weitergehende Untersuchungen hier auf dem Matheplaneten.

Hans-Jürgen

Kommentare (Auswahl):

http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/t/pix.gif

 

Re: Palindromzahlen
von
AimpliesB am Fr. 10. September 2004 09:59:49


Huhm. Ich habe vor langer langer Zeit einmal einen Artikel in der Zeit gelesen. Es ging um einen brillianten Menschen, der zum Thema Palindromzahlen geforscht hat... mehr habe ich leider nicht mehr in Erinnerung, doch:
Was gibt es bei Palindromzahlen zu erforschen?
Wo finden sie Anwendung?


Re: Palindromzahlen
von
susi0815 am Fr. 10. September 2004 10:36:56


Es gibt sogar ganze Bücher dazu ... (Titel hab ich aber leider vergessen)

Gruß, Susi


Re: Palindromzahlen
von
jannna am Fr. 10. September 2004 11:37:27 http://skadi.algebra.math.uni-siegen.de/~peters/


Hallo

Einer meiner Professoren hat eine nette Palindromseite: http://wotan.algebra.math.uni-siegen.de/~skoruppa/Palindromes/palindromes.html

allerdings sind das meistens Worte und keine Zahlen aber schöne sind dabei:
A MAN A PLAN A CANAL PANAMA
MADAM, I'M ADAM (he said to Eve :-))
SAMMELT LEMMAS
O Genie, dies nette Knie ist Gast, sagt sie. In Ketten sei dein Ego!
Vitaler Nebel mit Sinn ist im Leben relativ

Grüße
Jana


Re: Palindromzahlen
von
SirJective am Fr. 10. September 2004 11:49:09


Da fällt mir spontan eine sehr interessante Möglichkeit ein, Palindrome zu erzeugen: Nimm eine Zahl, drehe sie um (1234 -> 4321) und addiere die beiden (1234+4321=5555). Tue das solange, bis du ein Palindrom erhältst.

Die allermeisten Zahlen lassen sich auf diese Weise zu einem Palindrom entwickeln, aber es gibt auch Zahlen, bei denen das mindestens sehr lange dauert, möglicherweise ergibt sich niemals ein Palindrom. Diese Zahlen werden "Lychrel Zahlen" genannt, die kleinste ist die 196.

Siehe dazu auch
http://de.wikipedia.org/wiki/Zahlenpalindrom
http://home.cfl.rr.com/p196/

Gruss,
SirJective


Re: Palindromzahlen
von
Rebecca am Fr. 10. September 2004 12:27:36


Hi Hans-Jürgen,

danke für diesen Einstieg in ein schönes Thema. Palindrome haben mich als Zahlenfetischistin schon immer gereizt, besonders das "196er-Problem":

Man nehme eine beliebige positive ganze Zahl (z. B.: 83), schreibe die Ziffern in umgekehrter Reihenfolge auf (38), addiere die beiden Zahlen (83 + 38 = 121). Wenn das Ergebnis nicht gleich ein Palindrom ist (z.B. bei 87), setze man das Spiel fort bis das Ergebnis ein Palindrom ist:

87 + 78 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884

In den weitaus meisten Fällen geschieht dies sehr schnell, aber es gibt Zahlen wie die 89, die sich etwas länger brauchen: Aus 89 wird nach 24 Inversionen 8813200023188.

Und dann gibt es auch noch Zahlen, die sich standhaft weigern. Bis 10000 sind das etwa 2,5 % der Zahlen. 196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, ... Bei diesen Zahlen ist es bisher nicht gelungen, ein Palindrom zu erzeugen.

Diese Zahle heißen Lychrel-Zahlen. 196 ist die kleinste Lychrel-Zahl, daher der Name "196er-Problem". Es gibt bisher auch keinen Beweis dafür, dass tatsächlich kein Palindrom entstehen wird. Mit geballter Rechnerkraft hat man bis jetzt nach Millionen von Inversionen aus 196 eine Zahl mit über 206 Millionen Ziffern erzeugt, ohne auf ein Palindrom zu stoßen. Vieles spricht dafür, dass die Suche vergeblich sein wird. Schließlich wird die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Palindroms mit den länger werdenden Zahlen immer geringer.

Es gibt also schon was zum Forschen bei den Palindromen, liebe Teresa. Es ist z.B. auch noch unbekannt , ob es unendlich viele Primzahlpalindrome gibt. Das größte bekannte Primzahlpalindrom ist 10^120016 + 1726271 * 10^60005 + 1

Gruß
Rebecca


Re: Palindromzahlen
von
galexy am Sa. 11. September 2004 09:38:54


Wie Susi schon geschrieben hat gibt es "ganze Bücher" über das Thema.

Eines dieser Bücher ist "Ein Esel lese nie - Mathematik der Palindrome" von Karl Günter Kröber erschienen im rowohlt-verlag

Wie wissenschaftlich dieses Buch wirklich ist, kann ich nicht sagen, weil ich noch nicht dazu gekommen bin es zu lesen. Aber so vom überfliegen her find ichs doch schon interessant.

Es werden hier auch palindrome in anderen Zahlensystemen untersucht.

Gruß Alex


Re: Palindromzahlen
von
Hans-Juergen am Sa. 11. September 2004 11:41:21 http://www.hjcaspar.de/hpxp/anfang.htm


Hallo galexy,
danke für diesen Hinweis.

Noch ein paar Bemerkungen zu dem von SirJective und
Rebecca beschriebenen, iterativen Verfahren zur Erzeugung
von Palindromzahlen, das sicher nicht das einzige ist.

Experimentiert habe ich statt mit der Summe mit dem
ganzzahligen Anteil des geometrischen Mittels, d. h.
der Wurzel aus dem Produkt der eingegebenen Zahl und
der ihr zugeordneten Zahl mit umgekehrter Ziffernfolge.
Dabei ergab sich z. B. folgendes:

Bild

Eine Palindromzahl entsteht nach 9 Schritten.

Gleich beim ersten Schritt erscheint sie hier:

Bild

Wie bei der Summe erhält man auch bei Verwendung des
geometrischen Mittels nicht immer das Gewünschte:

Bild

Die Zahlen in der rechten Spalte wiederholen sich periodisch,
ohne daß eine von ihnen palindrom ist.

Das beginnt schon viel früher. Die kleinste dreistellige Zahl,
die aus demselben Grund keine Palindromzahl liefert, ist die 102:

Bild

Bei der Zahl 4803 entsteht auch nach 1 Million Schritten
noch kein Palindrom. Ob sich die Zahlen in der rechten Spalte
wiederholen, konnte ich nicht erkennen. Entweder ist die
Periodendauer sehr lang, oder dieses Beispiel ist unperiodisch.

Hans-Jürgen


Re: Palindromzahlen
von
Rebecca am Mo. 13. September 2004 18:12:52


Bild

http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=868187fed-Code ausblenden

Hi,

noch was Palindromisches:

Dreieckszahlen D_n sind definiert als
D_n=sum(k,k=1,n)

Frage: gibt es mehrstellige D_n, bei denen sowohl n als auch D_n ein Palindrom ist ?

Natürlich, n=11 liefert D_n=66 oder n=363 liefert D_n=66066

Aber bis jetzt sind erst 18 dieser Kombinationen bekannt, die größte ist:

n=3.654.345.456.545.434.563
mit D_n=6.677.120.357.887.130.286.820.317.887.530.217.766

Gruß
Rebecca


Re: Palindromzahlen
von
Hans-Juergen am Di. 14. September 2004 11:31:37 http://www.hjcaspar.de/hpxp/anfang.htm


Hi,

hier ein paar mehr der von Rebecca genannten Zahlen:

Bild

Grüße,
Hans-Jürgen


Re: Palindromzahlen
von
Rebecca am Di. 14. September 2004 13:28:31


Hi,

noch zwei bemerkenswerte Aussagen zu Palindromzahlen:

Bei fast alle Palindromen, die Kubikzahlen sind, scheint die 3. Wurzel auch palindrom zu sein. Die einzige bisher bekannte Ausnahme ist die auch in Hans-Jürgens Tabelle enthaltene
22013 = 10662526601.

Es wird vermutet, dass es für Exponenten k > 4 keine Palindromzahlen Nk gibt.

Gruß
Rebecca


Re: Palindromzahlen
von
Hans-Juergen am Mi. 15. September 2004 10:50:34 http://www.hjcaspar.de/hpxp/anfang.htm


Hallo Rebecca und andere Palindromzahlfreunde,

daß manche Palindromzahlen Quadrate, Kuben
oder Dreieckszahlen sind und andere sich mit
Hilfe geheimnisvoller Algorithmen erzeugen lassen,
erschwert den Blick darauf, daß die unendliche
Menge der Palindromzahlen abzählbar ist.
So kann man sie in beliebiger Anzahl der Größe
nach auflisten, ohne dabei einzelne oder ganze
Bereiche von ihnen zu überspringen.

Dies ergibt eine einfache Überlegung, bei der von
den genannten Teilmengen und Rechenverfahren
abgesehen wird und man sich nur vorstellt, wie
Palindromzahlen auf sozusagen ganz natürliche
Weise gebildet werden können.

Beginnen wir mit zweistelligen Palindromzahlen,
dann ist die erste die 11, und man kann sich
die Frage stellen, welche z. B. die 115te ist.
(Dies geht sogar, im Gegensatz zu den obigen
Untersuchungen, ohne Computer!http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/images/forum/subject/icon7.gif)

Viel Spaß wünscht hierbei
Hans-Jürgen.


 

Re: Palindromzahlen
von
Rebecca am Mi. 15. September 2004 13:22:29


Hallo Hans-Jürgen,

mit der 115. Palindromzahl (1661) mag das ja noch ohne Computer gehen, aber wie ist das mit der 123454321. Palindromzahl (2345432222345432) ??

Gruß
Rebecca


Re: Palindromzahlen
von
Hans-Juergen am Mi. 15. September 2004 18:43:55 http://www.hjcaspar.de/hpxp/anfang.htm


Hallo Rebecca,

bei mir lautet die 115. Palindromzahl etwas anders.
Welche es ist, sende ich Dir als persönliche Nachricht.
Bei der von Dir genannten, sehr großen Zahl würde ich
sicherlich den Computer mit verwenden. Mir kam es
hauptsächlich auf das Zählprinzip an, und mich würde
interessieren, wie Du vorgegangen bist.

Herzliche Grüße,
Hans-Jürgen


Re: Palindromzahlen
von
Rebecca am Mi. 15. September 2004 20:19:50


Hi Hans-Jürgen,

dass sich unsere 115. Zahlen unterscheiden, liegt daran dass ich die ersten 9 trivialen (einstelligen) Palindromzahlen 1,2,3,4,5,6,7,8,9 mitzähle. 11 ist dann also bei meiner Zählung die 10. Palindromzahl.

Ich habe (für meine Zählweise) eine Vorschrift hergeleitet (ohne Beweis), mit der man für beliebig große N (N > 9) die N-te Palindromzahl auf einfachste Weise konstuieren kann. Dabei muss man drei Fälle unterscheiden:

1. Die 1. Ziffer von N ist ungleich 1:

Sei N z.B. N = 345124

Man subtrahiere 1 von der 1. Stelle von N und addiere 1 (mit Übertrag) zu der letzten Stelle von N:
Ergebnis N' = 245125

Von N' streicht man die letzte Stelle und schreibt das dann in umgekehrter Reihenfolge hin: Ergebnis N'' = 21542

Die Konkatenation von N' und N'' ist die gesuchte N-te Palindromzahl 24512521542


2. Die 1. Ziffer von N ist gleich 1 und die 2. Stelle ungleich 0:

Sei N z.B. N = 145124

Man subtrahiere 1 von der 1. Stelle von N (und lässt diese führende 0 wegfallen) und addiere 1 (mit Übertrag) zu der letzten Stelle von N:
Ergebnis N' = 45125

Hier wird die letzte Stelle von N' nicht gestrichen
N' wird in umgekehrter Reihenfolge hingeschrieben: Ergebnis N'' = 52154

Die Konkatenation von N' und N'' ist die gesuchte N-te Palindromzahl 4512552154


3. Die 1. Ziffer von N ist gleich 1 und die 2. Stelle gleich 0:

Sei N z.B. N = 105124

Man subtrahiere 1 von der aus den ersten beiden Stellen von N gebildeten Zahl 10 - 1 = 9 und addiere 1 (mit Übertrag) zu der letzten Stelle von N:
Ergebnis N' = 95125

Von N' streicht man die letzte Stelle und schreibt das dann in umgekehrter Reihenfolge hin:
Ergebnis N'' = 2159

Die Konkatenation von N' und N'' ist die gesuchte N-te Palindromzahl 951252159

Noch ein "großes" Beispiel:
N = 98765432109
N-te Palindromzahl: 887654321101123456788

Gruß
Rebecca


Re: Palindromzahlen
von
Rebecca am Mi. 15. September 2004 20:29:23


Hi,

da habe ich noch was: Wer die N-te Palindromzahl Pn nicht mit meiner Methode konstruieren, sondern sie líeber direkt mit einer geschlossenen Formel berechnen will, benutze die folgende "einfache" Formel (diese Formel ist bewiesen worden):


http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=870297fed-Code einblendenfed-Code ausblenden

P_n=(a_n mod 10)*11^(c_n)*10^b_n+sum(floor((a_n mod 10^(k+1))/10^k)*10^(b_n-k)*(10^(c_n+2k)+1),k=1,b_n)


mit
a_n=n+1-10^(floor(log (n+1-10^(floor(log (n/10))))

b_n=floor(log a_n)

c_n=sum(floor((floor(n/(11*10^(k-1)-1)))/(floor(n/(11*10^(k-1)-1))-1/10))-floor((floor(n/(2*10^k-1)))/(floor(n/(2*10^k-1))-1/10)),k=1,floor(log n)

fed-Code ausblendenfed-Code im Editor öffnen



Gruß
Rebecca


Re: Palindromzahlen
von
Hans-Juergen am Do. 16. September 2004 15:10:46 http://www.hjcaspar.de/hpxp/anfang.htm


Hallo Rebecca,

wenn man wie Du die Palindromzahlen von 1 an zählt,
ergibt sich durch Anwendung eines einfachen Schemas
unter anderem:

Bild
Dein Verfahren, das offenbar auf einer sorgfältigen
Analyse derartiger Teilausschnitte beruht, eignet
sich nicht nur für große und sehr große Palindromzahlen,
sondern man braucht vor allem, wenn man wissen möchte,
welche Palindromzahl an einer bestimmten Stelle der Folge
steht, nicht alle vorhergehenden aufzulisten.

Das Verfahren läßt sich auch umkehren. Jemand schreibt
irgendeine Palindromzahl hin und möchte ihre Platz-Nr. in der
mit 1 beginnenden Folge wissen.

Bei Deinen Beispielen sieht das so aus:
Bild

Und bei ein paar eigenen so:

Bild
Bild
Bei den Palindromzahlen mit ungerader Stellenzahl
ist das Auffinden der Platz-Nr. ganz einfach; bei
denen mit gerader Stellenzahl geht man etwas anders
vor. (Es kann sein, daß auch sonst noch kleinere
Ergänzungen/Modifikationen nötig sind.)

Insgesamt habe ich durch Dich wieder Neues über
Palindromzahlen hinzugelernt und freue mich.

Es grüßt Dich dankbar
Hans-Jürgen.

P. S. die von Dir zitierte Formel ist grauslich;
ich frage mich, wer sich so etwas ausdenkt und beweist.


Re: Palindromzahlen
von
Rebecca am Fr. 17. September 2004 13:01:17


Hi Hans-Jürgen,

zu deinem PS: So grauslich die Formel aussieht, so leicht kann man sie doch in ein Java-Applet umsetzen. Dieses Applet und den ziemlich umfangreichen Beweis dieser Formel findest du
hier.

Gruß
Rebecca


Re: Palindromzahlen
von
Rebecca am Fr. 17. September 2004 14:34:16


Hi,

Geschichtliches zum "196er-Problem":

Die Vermutung, alle Zahlen würden dabei einmal zu einem Palindrom werden, wurde bereits um 1930 formuliert. Sie wurde eher als richtig eingeschätzt, obwohl kein Beweis vorlag. Erstmals 1967 unterzog der Mathematiker Charles Trigg die Zahlen bis 10000 einer genaueren Untersuchung. Bis heute wurde in der von 196 ausgehenden Folge kein Palindrom entdeckt.

Trigg selbst hielt die Vermutung übrigens für falsch.

Heiko Harborth bewies 1973, dass die Vermutung in allen Zahlenbasen, die reine Zweierpotenzen sind, falsch ist (On palindromes. Math. Mag. 46 (1973), 96-99. ). Für die Basis 10 gibt es bis heute kein Resultat.

Gruß
Rebecca


Re: Palindromzahlen
von
Hans-Juergen am Sa. 18. September 2004 11:13:13 http://www.hjcaspar.de/hpxp/anfang.htm

Hi,

die sich über mehrere Seiten erstreckende Herleitung
der von Rebecca angegebenen, komplizierten Formel ist
nicht so direkt-anschaulich wie ihre eigenen Überlegungen.
Für sie habe ich mir ein Programm geschrieben, das die
erforderlichen Fallunterscheidungen und Zahlenmanipulationen
automatisch vornimmt und in beiden Richtungen funktioniert.
Mit ihm kann ich bequem weitere Untersuchungen durchführen,
die sich auf die Teilbarkeit und andere Eigenschaften von
Palindromzahlen beziehen.

Noch eine Bemerkung zu der Bezeichnung Lychrel-Zahlen.
Durchforscht man das Internet nach den Namen von
Mathematikern, so findet sich anscheinend keiner, der
Lychrel heißt. Ich halte es deshalb für möglich, daß sich
dahinter etwas Unmathematisches, "Romantisches" verbirgt,
vielleicht eine versteckte Huldigung an eine Frau. Es gibt
nämlich im Englisch-Amerikanischen den weiblichen Vornamen
Cheryll, dessen Buchstaben sich in Lychrel umstellen lassen.

Hans-Jürgen


 

Re: Palindromzahlen
von
Rebecca am Mo. 20. September 2004 12:15:35


Hi Hans-Jürgen,

mit deiner „romantischen" Vermutung hast du einen Volltreffer gelandet. Auf einer Seite zum 196-Problem fand ich diese Aussage:

Some numbers, however, never seem to reach a palindrome, and they have the name "Lychrel" numbers, named by Wade VanLandingham

Und auf den Palindromseiten von Wade VanLandingham aus Florida, der offensichtlich alles weiß und verfolgt, was zum Thema Palindrom weltweit geschieht, fand ich die Lösung:

Where does the word "Lychrel" come from?

"Lychrel" was simply a word that was not in the dictionary, not on a Google search, and not in any math sites that I could find. If there is any "hidden meaning" to the word, it would simply be that it is a rough anagram of my girlfriend's name Cheryl. It was a word that hit me while driving and thinking about this. I liked the sound of it, and it stuck. There is no secret to the word. If the name "Walker Numbers" had not been in use already, I would have named them that, in honor of John Walker who did the first million digits.

Gruß
Rebecca


Re: Palindromzahlen
von Anonymous am So. 29. Oktober 2006 15:37:44


Bei der Tabelle Kubikzahlen fehlt noch
7³=343


Re: Palindromzahlen
von matroid am So. 29. Oktober 2006 16:59:03


Hi, da hat jemand (warst Du es selbst?) die 343 schon in die Tabelle aufgenommen, danke dafür.

Gruß
Matroid


Re: Palindromzahlen
von Hans-Juergen am So. 29. Oktober 2006 19:29:20 http://www.hjcaspar.de



Ich war's nicht. Danke für den Hinweis, Anonymous.
Hans-Jürgen


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