Eine nicht-relativistische Herleitung
der dynamischen Massenformel
Schon vor der Veröffentlichung von Einsteins
(Spezieller) Relativitätstheorie im Jahre 1905
gab es die Idee, daß die Energie Masse-
eigenschaften besitzt, was durch die
berühmte Gleichung E=mc² zum Ausdruck
gebracht wird.
Anlaß für diese frühe Einsicht waren die
Selbstinduktion, die als Trägheitserscheinung
gedeutet werden kann, und die Erkenntnis des
österreichischen Physikers Friedrich Hasenöhrl,
der bereits 1904 in den Annalen der Physik
in seinem Aufsatz "Zur Theorie der Strahlung
bewegter Körper" ausführte, daß der Energie E
der Hohlraumstrahlung eine Masse m=E/c²
zuzuschreiben ist. Dabei rechnete er ohne
zusätzliche Annahmen nach der Maxwellschen
Theorie. Bisweilen wird gegen Einstein der
Vorwurf erhoben, den von Hasenöhrl gefundenen
Zusammenhang zwischen beiden Größen bei der
Veröffentlichung seiner eigenen Energie-Masse-
Formel nicht erwähnt zu haben. Da beide Forscher
in geringem zeitlichen Abstand im selben Wissen-
schaftsorgan publizierten, ist anzunehmen,
daß Einstein Hasenöhrls Arbeit kannte.
Führt man heutzutage, etwa im Gymnasium,
die Spezielle Relativitätstheorie ein, wird
häufig (mit Zwischenschritten, die ich hier
auslasse) diese Reihenfolge gewählt: Prinzip
von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit -
Lorentz-Transformation - dynamische Masse -
Äquivalenz von Masse und Energie.
Die Formel E=mc² steht hierbei am Ende einer langen Deduktionskette; doch ist,
wenn man nur die Abhängigkeit der Masse von
der Geschwindigkeit herleiten möchte, auch
das Umgekehrte möglich. Dies wurde von Prof. Franz
von Krbek in seinem Lehrbuch "Grundzüge der
Mechanik" gezeigt und wird im folgenden
leicht verändert wiedergegeben.
Geht man von E=c²m aus, dann ist, da m
als veränderlich vorausgesetzt wird,
dE=c²dm.
Bezeichnet weiter F eine Kraft, unter deren
Einfluß der Körper in ihrer Richtung den Weg s
zurücklegt, gilt auch
dE=Fds.
Wird außerdem berücksichtigt, daß nach Newton
die Kraft gleich der Ableitung des Impulses mv
nach der Zeit ist,
F=d(mv)/dt,
dann folgt mit ds=vdt und unter Beachtung
der Produktregel:
c²dm=(vdm+mdv)·v.
Trennung der Variablen
dm/m=vdv/(c²-v²)
und Integration auf beiden Seiten mit der
Integrationskonstanten mo (Ruhmasse)
ergibt die bekannte Massenformel
m=mo/sqrt(1-v²/c²).
Bemerkenswert an dieser Herleitung ist
außer ihrer Kürze, daß sie ohne die
von der Relativitätstheorie postulierten
Eigenschaften von Raum und Zeit
auskommt.
Hans-Jürgen
(1.2.05)
Re: Eine
nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel
von Spock
am Di. 01. Februar 2005 20:43:26
Hallo Hans-Jürgen,
ich danke Dir für diese schöne Alternative zur sonst üblichen Herleitung
einer der wichtigstens Beziehungen der SRT.
Gruß
Juergen
(Mehr Kommentare beim Artikel auf dem "Matheplanten".)