Die folgende Aufgabe wurde auf dem Matheplaneten ohne nähere Quellenangabe gestellt.

Ein Professor entnimmt seiner Tasche, die nur weiße und schwarze Kugeln enthält, ohne hinzusehen, fünf Kugeln. Sie sind alle weiß. Er sagt: "Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt 50 Prozent." und fragt: "Wie viele weiße und schwarze Kugeln sind insgesamt in der Tasche, wobei diese beliebig groß angenommen werden darf?"

Lösung:

Das bei dieser Aufgabe anzuwendende Verfahren heißt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung "zufälliges Herausnehmen ohne Zurücklegen."

Wenn es n Kugeln insgesamt gibt, davon w weiße (und s=n-w schwarze), lautet der Lösungsansatz:


Anders geschrieben, lautet die Gl.:

Das ist eine diophantische¹⁾ Gleichung 5. Grades, für die es kein allgemeines Lösungsverfahren gibt, so dass man auf Raten angewiesen ist.

Falls (1) überhaupt natürliche Zahlen als Lösungen hat, könnte es sein, dass n und w sehr hoch sind; hierauf deutet die Bemerkung des Professors über die Größe seiner Tasche hin.

Im Gegensatz dazu beginne ich mit kleinen Zahlen und nehme zuerst versuchsweise an, dass sich unter den n Kugeln in der Tasche nur eine schwarze befindet, s=1, d. h. n=w+1, dann lautet Gl. (1):

was nach Kürzen

und damit w=9 ergibt. Eine schwarze Kugel, neun weiße, insgesamt zehn Kugeln in des Professors Tasche ist also eine Lösung der Aufgabe. (Sie steht auch auf dem MP.)

Um weiter zu untersuchen, ob es noch mehr Lösungen gibt, nehme ich als nächstes an, es gäbe zwei schwarze Kugeln; dann folgt mit n=w+2 aus (1):

Nach dem Kürzen ergibt sich die quadratische Gleichung w²-17w+22=0. Sie wird von keiner natürlichen Zahl w erfüllt, so dass die Möglichkeit zweier schwarzer Kugeln ausscheidet.

Die Annahme, dass unter den n Kugeln drei schwarze sind, führt auf eine kubische Gleichung, die ebenfalls keine natürliche Zahl als Lösung hat; ebenso ist es mit s=4, was auf eine Gleichung 4. Grades führt. Je größer s gewählt wird, umso geringer sind die Möglichkeiten zum Kürzen. Ab s=5 besteht gar keine mehr. Ob die ursprüngliche Gleichung 5. Grades weitere Lösungen außer n=10, w=9 hat, konnte auf dem Matheplaneten nicht geklärt werden. –

Kurz und konzentriert lässt sich Gl. (1) mit Binomialkoeffizienten schreiben als



und wird hier bei Wolfram Alpha gelöst:



mit dem Ergebnis, dass die uns bereits bekannte Lösung die einzige ist.
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¹⁾ nach dem antiken Mathematiker Diophantos. Näheres siehe z. B. hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Diophantische_Gleichung

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