Kleiner Logik-Exkurs

Auf der untersten Stufe der mathematischen (auch "formalen") Logik werden einfache Aussagen wie "Rom ist die Haupstadt Italiens.", "Die Erde ist eine Scheibe.", "Es gibt blaue Rosen." betrachtet. Die erste dieser drei ist wahr, die zweite falsch, und bei der dritten weiß man's nicht so genau. Fest steht jedoch eines: entweder es gibt blaue Rosen, oder es gibt sie nicht. Dies gilt allgemein für alle Aussagen vom obigen Typ: sie können nicht gleichzeitig wahr und falsch sein. Wenn eine Aussage wahr ist, ist ihre Verneinung falsch und umgekehrt. Dies ist so selbstverständlich und unmittelbar einleuchtend, dass es nahezu überflüssig erscheint, wenn darauf hingewiesen wird.

Aber Vorsicht! Jemand (s. u.) hat sich folgendes ausgedacht:

(1) "Dieser Satz enthält sechs Wörter." Seine Verneinung lautet:
(2) "Dieser Satz enthält nicht sechs Wörter."

(1) ist falsch, denn es sind nur fünf Wörter. (2) ist aber auch falsch, denn nun sind es sechs.
Das aber darf nach dem Vorstehenden nicht sein: da (2) die Verneinung des falschen Satzes (1) ist, müsste (2) wahr sein - ist es aber nicht!

Dies fand ich unter "Humor in der Mathematik" hier, verbunden mit der Bemerkung: "Die Negation einer falschen Behauptung ist nicht immer eine wahre Aussage." Sie steht im Widerspruch zu dem einleitend Gesagten.

Ernsthafter und gründlicher wird es, wenn der Begriff "Selbstbezüglichkeit" mit ins Spiel kommt. Satzpaare wie das obige haben diese Eigenschaft und führen in die Aporie, d. h. Auswegslosigkeit. Unser obiges Beipiel geht vermutlich auf den ehemals österreichischen Mathematiker Bernhard Bolzano (1781-1818) zurück, vgl. hier, S. 5 u.10.

Anmerkung
übersetzt man die beiden Aussagen (1) und (2) ins Französische:
(1) "Cette phrase contient six mots."
(2) "Cette phrase ne contient pas six mots.",
ergeben sich keine Schwierigkeiten:
(1) ist weiterhin falsch, (2) als Verneinung von (1) dagegen wahr, wie es sein soll.
Es kommt also evtl. auf die verwendete Sprache an, ob ein bestimmtes logisches Problem lösbar ist oder nicht. Das ist schon für sich seltsam genug.

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