Geometrische Konstruktionen mit Einschränkungen

Seit der Antike gibt es eine bestimmte Art geometrischer Konstruktionen, die allein mit Zirkel und Lineal ausgeführt werden.¹⁾ Das Lineal darf keine Markierungen haben, während über den Zirkel nichts weiter vorausgesetzt wird. Als selbstverständlich gilt, daß der Winkel zwischen seinen Schenkeln beliebig zwischen 0 und 180 Grad eingestellt werden kann.

Was aber ergibt sich, wenn der Zirkel eingerostet und nicht verstellbar ist? Kann man dann die "klassischen" Nur-mit-Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen nicht mehr ausführen oder nur einen geringen Teil davon?

Dies untersuchte der persische Astronom und Mathematiker Abul Wefa ²⁾, der vor rund tausend Jahren in Bagdad lebte, an einzelnen Beispielen. Auf der Internetseite [1] wird darüber berichtet und erwähnt, daß der französische Mathematiker Victor Poncelet im 19. Jahrhundert den Grundstein für den Beweis legte, dass alle Konstruktionen mit Zirkel und Lineal bereits mit Lineal und einem festen Zirkel möglich sind. Der strenge Beweis dafür, so heißt es auf derselben Seite, stammt von dem Schweizer Jacob Steiner.

Hingewiesen wird dort auch auf den Londoner William Leybourn, der 1694 in einem Buch schrieb: "Hier wird gezeigt, wie man (ohne Zirkel) nur mit Hilfe einer gewöhnlichen Gabel (oder eines ähnlichen Instrumentes, das sich weder weiter noch enger stellen lässt) und eines einfachen Lineals viele erfreuliche und reizende geometrische Operationen ausführen kann."

Daß sich der Zirkel nicht beliebig einstellen läßt, bedeutet eine Einschränkung der klassischen, aus der Antike überlieferten Vorgehensweise, doch hat sie nach dem Beweis von Steiner keine schädlichen, prinzipiellen Auswirkungen. Mit dem "rostigen Zirkel" wird manches lediglich komplizierter und erfordert mehr Überlegung, was nicht unbedingt ein Nachteil ist.

Schwieriger wird es auch bei einer anderen Einschränkung, die längere Zeit dem italienischen Mathematiker Lorenzo Mascheroni (1750-1800) zugeschrieben wurde; dieser wurde vor allem durch die nach ihm und Euler benannte Konstante bekannt.³⁾ In seiner 1797 erschienenen Schrift "Geometria del compasso" bewies er, dass jede Konstruktion mit Zirkel und Lineal auch mit einem beweglichen Zirkel allein ausgeführt werden kann. Das bei dem klassischen Vorgehen benutzte Lineal erweist sich somit als überflüssig.

Auf der Seite [2] werden drei, nur mit dem Zirkel ausgeführte Konstruktionen wiedergegeben - zwei davon von Mascheroni selbst -, bei denen der Mittelpunkt einer durch ihre beiden Endpunkte gegebenen Strecke gesucht ist. Auch die als "einfach" bezeichnete ist trickreich; auf sie wäre ich selber nicht gekommen.

Eine Aufgabe, die klassisch sehr leicht zu lösen ist (man braucht dazu nicht einmal den Zirkel, sondern nur das Lineal), lautet: "Konstruiere den Schnittpunkt zweier Strecken, deren Endpunkte gegeben sind." Wie man das allein mit dem Zirkel schaffen soll, ist mir ebenfalls schleierhaft.

1928 entdeckte der dänische Mathematiker Johannes Hjelmslev in einer Kopenhagener Buchhandlung ein Buch seines Landsmanns Georg Mohr mit dem Titel "Der dänische Euklid", erschienen 1672, also lange vor Mascheroni, das bereits dessen Ideen und Resultate enthielt. Seit diesem Fund hat es sich eingebürgert, die Konstruktionen allein mit dem Zirkel als Mohr-Mascheroni-Konstruktionen zu bezeichnen. [3]

Bei ihrer Rechtfertigung und praktischen Anwendung spielt die Inversion (Spiegelung am Kreis) eine Rolle, durch die Geraden zu Kreisen werden. Bemerkungen hierzu, auf die ich nicht näher eingehen möchte, findet man hier [4].

Während im 19. Jahrhundert die Konstruktionen allein mit dem Zirkel zum Teil Unterrichtsgegenstand am Gymnasium waren [5], scheinen sie heute nahezu vergessen zu sein. Vielleicht trägt das Vorstehende ein wenig dazu bei, das Interesse an ihnen auf dem Matheplaneten neu zu beleben.

Hans-Jürgen

¹⁾ Sie sind nicht die einzigen; die mit zwei Pflöcken und einer Schnur funktionierende "Gärtnerkonstruktion" einer Ellipse, zum Beispiel, gehört nicht dazu.
²⁾ vollständiger Name: Abul Wefa Muhammad Ibn Yahya Ibn Ismail al-Buzjani (940-997 n. Chr.)
³⁾ Euler-Mascheronische Konstante: γ≈0,5772156649 (Wikipedia)

[1] www.oliver-bieri.ch/mascheroni/abul.htm
[2] www.oliver-bieri.ch/mascheroni/mascheroni_strecke.htm
[3] www.cut-the-knot.org/do_you_know/compass.shtml 
[4] www.mathematik.de/.../kreisverwandteabbildungen.html  Abschnitt A
[5] Hutt, E. Die Mascheroni'schen Konstruktionen für die Zwecke höherer Lehranstalten und zum Selbstunterrichte. Halle, H. W. Schmidt, 1880.

Re: Geometrische Konstruktionen mit Einschränkungen von Jonathan_Scholbach am Sa. 09. Juni 2007 17:41:49

Interessante Phänomene, allerdings hätte ich mir noch mehr Details gewünscht - so wird man erstmal angefüttert, und dann bleibt man hungrig zurück. :-) Gruß Jonathan