Über den Begriff "infinitesimal" in der Differentialrechnung
und sein Gegenstück "infinit"
(nicht auf dem "Matheplaneten")

Der Differentialkoeffizient einer Funktion mit der Gleichung y=f(x) wird häufig in der Form

wiedergegeben. Darin bedeutet Dx®0, dass die Differenz zweier benachbarter Stellen auf der x-Achse "gegen 0 geht", dabei aber nicht gleich 0 wird.

Manche sagen, dass Dx "beliebig klein" sein soll (und ebenfalls ungleich 0). Das halte ich nicht für günstig. "Beliebig" hat etwas Subjektives, Personengebundenes an sich: dem einen beliebt dies, einem anderen jenes.

Auch liest man, dass Dx "infinitesimal" sei im Sinne von "unendlich klein". Dabei bedeutete infinitesimal von lateinisch "finis"=Ende und mit der Verneinungssilbe "in" ursprünglich nur "unendlich" – ohne "klein".

Wie Dx "immer kleiner und kleiner wird" (was auch gesagt wird), bleibt offen. Eine Möglichkeit ist die fortlaufende Halbierung von Dx, eine andere, dass man Dx=1/n setzt, wobei n eine natürliche Zahl ist, die immer größer und größer wird. Dies kann dadurch geschehen, dass n ständig verdoppelt oder im Sinne der Peano-Axiome durch seinen Nachfolger n+1 ersetzt wird, und somit "gegen Unendlich" geht.

Dann wird aus (1):

Ist beispielsweise f(x)=x2, folgt


Während, wie erwähnt, unendlich kleine Zahlen als infinitesimal bezeichnet werden, nennt man unendlich große Zahlen wie besagtes n infinit. Den Unterschied zwischen beiden Bezeichnungen erklärt ausführlich diese englische Internetseite. Im Deutschen wird das Wort "infinit" vor allem in der Sprachwissenschaft im Sinne von "unbestimmt" verwendet und kaum in der Mathematik; anders ist es im Englischen, vgl. hier.

Eine der seltenen Ausnahmen mit "infinit" in einem deutschsprachigen mathematischen Text ist diese Wikipediaseite über "hyperreelle" Zahlen. Dort heißt es: "Eine hyperreelle Zahl wie ω nennt man infinit oder unendlich, der Kehrwert einer unendlich großen Zahl ist eine infinitesimale Zahl."

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