Innenwinkel regelmäßiger Sterne ...
... so werden auf dieser reichhaltigen Wikipediaseite die Winkel an den Spitzen oder Zacken ebener, regelmäßiger Sterne genannt. Hier beschränke ich mich auf solche, die zum Beispiel so aussehen:
Sie entstehen dadurch, dass einander nicht berührende Seiten eines regelmäßigen Vielecks verlängert und zum Schnitt gebracht werden. Bei ihnen wollte ich wissen, wie die Größe ihrer Innenwinkel von der Anzahl der Zacken abhängt.
Beim Sechs- und Achtstern sieht man das sofort (60° bzw. 90°), nicht dagegen beim Fünfstern, Sieben- und Zehnstern, um nur sie zu nennen.
Unter den anderen Sternen gibt es einen mit dem Innenwinkel 100°: den Neunstern:
Dieses Ergebnis lässt sich verallgemeinern. Das aus den Winkeln α, β, γ gebildete rechtwinklige Dreieck mit
γ/2 = 90° - α tritt auch bei allen anderen Sternen der betrachteten Art auf, wie z. B. hier:
Dabei ist α = 360°/n, n=Anzahl der Sternzacken. Daraus folgt γ = 180°(1 - 4/n), und mit dieser einfachen Formel gelangt man schnell zu weiteren Ergebnissen:
(Die ausgelassenen Eckenzahlen n>10 ergeben wie bei n=7, in Grad gemessenen, keine ganzzahligen Winkel.)
Der Neunstern lässt sich auch auf andere Weise zeichnen. Sie besteht darin, dass man auf einer Strecke mit beliebig gewählter, konstanter Länge entlang geht und an ihrem Ende um 80°(=180°-100°) abbiegt. Dies wird achtmal wiederholt, bis man wieder am Ausgangspunkt ankommt:
Entsprechendes gilt für die anderen, hier betrachteten Sterne. Man kann sie alle, ohne abzusetzen,
in einem Zug zeichnen, wenn man den richtigen Abknickwinkel gemäß obiger Tabelle kennt.
Bekannt ist das vor allem beim Fünfstern. Seit alters her schreibt man ihm, wie auch dem sechs-, acht- und zehnzackigen Stern, besondere, nicht-mathematische Eigenschaften auf religiösem und esoterischem Gebiet zu. Fünfzackige Sterne werden oft für Länder- und Städtefahnen verwendet, und zwölf von ihnen zieren die Europaflagge. Selten erscheint dagegen ein Stern mit neun Zacken, z. B. als Symbol der Glaubensgemeinschaft der Baha'i. Entstanden ist er durch Verlängerung und Schnitt der Seiten des obigen Neunsterns:
Vor Jahrhunderten legte die italienische Stadt Palmanova ihre bis heute erhalten gebliebene und zum UNESCO-Weltkulturerbe gehörige Verteidigungsmauer in Form eines regelmäßigen Neunsterns an.
(Alte Stadtplanzeichnung)
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