Hier sind beide Töne in Phase; der resultierende Ton hat die doppelte Amplitude 2a:


In diesem Fall liegt die Phasenverschiebung zwischen 0 und einer halben Wellenlänge; die resultierende Amplitude ist kleiner als 2a:



Und hier beträgt die Phasenverschiebung eine halbe Wellenlänge; es kommt zur Auslöschung des ursprünglich vorhandenen Tones in jedem Zeitpunkt t.

*

Nun sollen die beiden Töne bei gleicher Amplitude verschiedene Frequenzen f₁, f₂ haben; dann gibt es ebenfalls Verstärkung und Abschwächung, aber nicht durchgehend für alle Zeiten. Dies deuten die beiden folgenden Beispiele an:

Bei dem zweiten ist der Frequenzunterschied größer als beim ersten.

Beide Teilbilder lassen noch keine einheitliche Tendenz erkennen, welche Frequenz die resultierende Schallwelle hat, und wann Verstärkung bzw. Schwächung bis hin zur Auslöschung eintritt; dazu sind sie zu verschieden. Wir betrachten deshalb eine größere Anzahl von Schwingungen:



Hieraus ist ersichtlich: der zusammengesetzte Ton ist ebenfalls eine Sinusschwingung, deren Frequenz allerdings noch unklar ist, und deren Amplitude ebenfalls periodisch mit der Zeit variiert. Man spricht in diesem Zusammenhang von einer modulierten Sinusschwingung. Die eingezeichnete Einhüllende der Maxima und Minima sieht aus wie eine Kosinuskurve mit sehr viel kleinerer Frequenz, als sie die Sinuskurve besitzt.

Endgültigen Aufschluss ergibt die Rechnung. Mit Hilfe des Additionstheorems

\sin x_1 + sin x_2 = 2*cos((x_1-x_2)/2)*sin((x_1+x_2)/2)
erhalten wir:
\sin(2\pi f_1 t)+sin(2\pi f_2 t)=2*cos(2\pi (f_1-f_2)/2 t)*sin(2\pi (f_1+f_2)/2 t)|.
\mixoff

Man hört also nicht nur, was intuitiv vielleicht zu erwarten ist, einen Ton, dessen Frequenz das arithmetische Mittel der beiden Ausgangsfrequenzen f₁ und f₂ ist, sondern noch einen weiteren Ton, der sich aus ihrer Differenz ergibt. Beide Töne werden zusammenfassend Kombinationstöne genannt, und der zuletzt erwähnte heißt Differenzton. Gelegentlich sagt man dazu auch Tartinischer Ton nach dem italienischen Barockkomponisten Giuseppe Tartini (1692-1770), der ihn bei seinen Kompositionen berücksichtigte. Über die Entstehung der Kombinationstöne bei verschiedenen Instrumenten und ihre Hörbarkeit sowie weitere Einzelheiten berichtet ein in [1] wiedergegebener Lexikonartikel aus dem 19. Jhdt.  

Für das Weitere (und um endlich zu dem Begriff zu kommen, der als erster in der Überschrift steht) ist vor allem der Differenzton von Interesse. Da wir keine Töne mit einer Frequenz kleiner als 16 Hz hören können, ist er, falls sich die Ausgangsfrequenzen f₁ und f₂ um weniger als diesen Wert voneinander unterscheiden, nicht mehr als solcher hörbar, sondern läßt sich nur noch als Lautstärkeschwankung wahrnehmen. Man spricht in diesem Fall von einer Schwebung.

Diese ist manchmal erwünscht und manchmal nicht. Bei Orgeln z. B. werden einzelne Pfeifen paarweise geringfügig  gegeneinander verstimmt, so daß die Schwebungsfrequenz (d. i. die Frequenz des Differenztones) ca. 5 bis 8 Hz beträgt. Dann tremoliert oder vibriert der von zwei so behandelten Pfeifen erzeugte Ton auf angenehme Weise; er wirkt dadurch lebendiger. Macht man den Frequenzunterschied kleiner, entsteht eine Art Gewimmer; macht man ihn größer (aber noch geringer als 16 Hz), wird der Ton rauher. Tonbeispiele zum Anklicken für die Schwebungsfrequenzen 10 Hz, 1 Hz und 0,5 Hz findet man in [2]. (Vorsicht! Die Wiedergabe kann recht laut sein - nicht erschrecken!)  

Der Klavierstimmer dagegen verändert die mechanische Spannung einzelner Saiten, die genau gleich klingen sollen, solange, bis keine Schwebung mehr auftritt ("Schwebungsnull").  

Es gibt elektrische Musikinstrumente, die den Schwebungseffekt ausnutzen, darunter ein berührungsfreies, das in [3] und [4] behandelt wird. Die letztgenannte Internetstelle enthält ein Foto der Spielerin eines solchen Instruments, dessen Töne allein durch ihre Körperbewegungen verändert werden; dazu gibt es eine Klangprobe.

Weiter wird das Prinzip der Schwebung bei der Amplitudenmodulation im Rundfunk verwendet, beim Verkehrsradar, bei Bewegungsmeldern und Metallsuchgeräten, um nur einiges zu nennen. Weniger bekannt ist die Anwendung des Schwebungs-Effekts bei der Erzeugung von Strahlung im Terahertz-Bereich [5] und in der Getriebetechnik [6].

*

Verwandt mit dem akustischen Phänomen des Zusammenwirkens zweier Sinustöne ist ein optisches, das zum Beispiel bei der Überlagerung von Strichgittern auftritt, deren Strichabstände sich etwas voneinander unterscheiden:


Es kann zum Beispiel an Zäunen oder Brückengeländern beobachtet werden.

Die Striche müssen nicht zueinander parallel sein wie in der folgenden Figur:


 
Von jedem der beiden roten Punkte gehen radial in gleichem Winkelabstand Strecken aus. Die sich wie bei dem "Zaun"-Beispiel andeutenden, diesmal aber gebogenen dunklen Bereiche bilden ein sogenanntes Moiree-Muster. Dieser Name rührt von bestimmten Stoffarten her, bei denen sich die Gewebefäden unter sehr spitzen Winkeln überkreuzen, wodurch hellere und dunklere Streifen sichtbar werden. Moiree-Muster treten häufig auf, z. B. bei Gardinen (Stores), im Fernsehen, wenn jemand ein gestreiftes Hemd anhat, oder bei digitalen Fotobildern. Unter anderem sind Dachziegelreihen anfällig für diese Art von Störung:



Zum Abschluss ein letztes Bild, aufgenommen in einem Lebensmittel-Supermarkt. Es zeigt einen Warenbehälter mit Rädern, dessen Wände aus Lochplatten bestehen. Die Löcher sind ca. 3 mm groß und aus einigen Schritten Entfernung kaum noch zu sehen. Geht man auf den Behälter zu oder von ihm weg, erscheinen Moiree-Muster, die ständig ihr Aussehen wechseln. Ab und zu sieht man die Löcher stark vergrößert:



Das hat mich fasziniert. In diesem Zusammenhang fiel mir ein, früher einmal gelesen zu haben, dass man den Moiree-Effekt bei der elektronenmikroskopischen Untersuchung von Viren anwendet. Ziel ist auch hier, sie vergrößert zu erhalten. Wie man das genau macht, habe ich leider vergessen.

Interessant und reizvoll dürfte es auch sein, die mathematische Form der in dem drittletzten Bild auftretenden sichelförmigen Moiree-Bezirke zu analysieren, genauer: die Ortskurven der Streckenschnittpunkte in ihrem Innern. Sind es Kreise?

Hans-Jürgen,
6.12.06

[1] Meyers Konversationslexikon, S. 974 mit 'Kombinationston'
[2] Schallausbreitung (Abschnitt Besonderheiten..., 1. Interferenz und Schwebung)
[3] 'Theremin' elektrisches Musikinstrument, das die Schwebung ausnutzt
[4] Barbara Buchholz spielt auf dem Theremin
[5] Terahertz-Strahlung - Bindeglied zw. Elektronik und Optik
[6] Zahnradgetriebe f r hohe Umsetzungen

Re: Schwebung und Moiree
von Bernhard am Do. 07. Dezember 2006 10:08:05

Hallo Hans-Jürgen!
Für Einsteiger eine schöne und anschauliche Einführung!
Ich vermisse allerdings ein Paar Sachen:
1.) Den klaren Hinweis darauf, dass es sich beim Schall um Longitudinalwellen handelt, im Gegensatz zu den in deinen Graphiken behandelten Transversalvellen. Ich weiß, letztere sind leichter zu veranschaulichen und im Prinzip analog zu berechnen, aber man sollte vielleicht trotzdem auf den Unterschied aufmerksam machen.
2.) Warum hast Du im Zusammenhang mit den beschriebenen Moiree-Mustern die allgemeine Bezeichnung für Überlagerungeseffekte bei Wellen, nämlich "Interferenz" nicht erwähnt? Moiree-Muster bezieht sich lediglich auf eine optische Veranschaulichung. Das Flimmern eines Bildschirms gehört z.B. auch dazu, also nicht nur statische Bilder.
3.) Der Unterschied zwischen Schwebung und Modulation:
Unter Schwebung versteht man die von Dir beschriebenen Überlagerunsphänomene, Modulation dagegen ist die Aufprägung von niederfrequenten Signalen auf höherfrequente durch Veränderung der Amplitude, der Frequenz oder der Phase. Das ist das Prinzip beim Senden von Rundfunksignalen o.a. und, da man die verschienenen Modulationen unabhängig voneinander anwenden kann, ist es dadurch auch möglich, gleichzeitig mehrere Signale auf eine Trägerwelle zu packen. Bei der Amplitudenodulation sieht es dann allerdings so ähnlich aus wie bei Deiner Schwebung: dann entspricht die Trägerfrequenz entspräche dann der resultierenden Grundschwingung, das Signal der einhüllenden Kurve ihrer zu- und abnehmenden Maxima und Minima.

Viele Größe, Bernhard

Re: Schwebung und Moiree
von Hans-Juergen am Do. 07. Dezember 2006 15:35:57 http://www.hjcaspar.de