Aus einer Mathematik-Olympiade stammt folgende Aufgabe:

Zu zeigen ist: Wenn zwei natürliche Zahlen a unb b so gewählt werden, dass der Nenner des Bruches (a²+b²)/(1+ab) ein Teiler des Zählers ist, d. h., wenn der Bruch eine ganze Zahl ist, dann ist diese eine Quadratzahl.

Nach Zahlenpaaren (a,b), für die das zutrifft, wurde hier auf dem Matheplaneten gesucht. Die Aufgabe galt als schwierig. Der "Diskussionsfaden" (engl. thread ) war diesmal auf Grund eines sehr allgemeinen Ansatzes mit über vierzig Beiträgen besonders lang und nicht immer leicht zu durchschauen.

Hier beginne ich noch einmal von vorn, einfach und direkt. Sei a=n, b=cn; c,nÎℕ, dann ist

Wählt man c so, dass c²=cn² ist, dann gilt

d. h., der Nenner des Bruches wird ein Teiler des Zählers, und der Bruch ist, wie behauptet, eine Quadratzahl:

c²=cn² bedeutet c=n² und somit b= n³, d. h., a=n, b=n³ ist eines der gesuchten Zahlenpaare.

Wegen der Symmetrie des Bruches in a unb b wird (1) auch beim Vertauschen der beiden Zahlen erfüllt: a=n³, b=n. Das ist trivial,
führt aber zu der Frage, ob es nicht auch ein solches Paar mit a=n³ und b¹n gibt.

Um darauf zu antworten, wird a=n³ in (1) eingesetzt und b neu berechnet. Die sich dabei ergebende quadratische Gleichung

b²-n⁵b+n⁶-n²=0   hat die Lösung


Gilt das Pluszeichen, wird b=n⁵-n, und ein zweites Lösungspaar ist a=n³, b=n⁵-n.



So kann man weiter fortfahren. Wir vertauschen wieder a und b und berechnen b durch Einsetzen von a=n⁵-n in (1). Dabei ergibt sich als drittes Lösungspaar: a=n⁵-n, b=n⁷-2n³.

In einem nächsten Schritt folgt entsprechend das vierte: a=n⁷-2n³, b=n⁹-3n⁵+n. (Bei ihm muss man erkennen, dass die unter der Wurzel stehende Summe n¹⁸-8n¹⁴+20n¹⁰-16n⁶+4n² das Quadrat von n⁹-4n⁵+2n ist.)

Die hier erhaltenen vier Lösungspaare (n;n³), (n³;n⁵-n), (n⁵-n;n⁷-2n³), (n⁷-2n³;n⁹-3n⁵+n) sind einzeln in dem genannten thread verstreut zu finden.

Mehr zu diesem Problem und seinem Schwierigkeitsgrad s. hier. Im Vergleich dazu erscheint meine Vorgehensweise einfach.

Fortsetzung

Er hat eine unerwartete Besonderheit: wählt man die natürlichen Zahlen x und y so, dass auch er eine natürliche Zahl wird, dann ergibt sich immer dieselbe, und zwar die 5. Das zeigt sich in der folgenden Tabelle:



Andeutungsweise "bewiesen" wird das im Internet (ab ca. 2025) mit Künstlicher Intelligenz (KI) wie in diesem Beispiel:
"Die Frage, welche Werte ein solcher Bruch annehmen kann, ist ein klassisches Problem der Zahlentheorie (verwandt mit dem berühmten IMO-Problem von 1988). Wir nehmen an, es gäbe eine natürliche Zahl k, für die gilt: (a²+b²)/(ab-1)=k. Dies lässt sich umformen zu einer quadratischen Gleichung für a : a²-kba+b²+k=0.  . . .  Numerische Berechnungen für (a,b) bis 1000 bestätigen, dass kein anderer ganzzahliger Wert außer 5 erreicht wird. Jedes Mal, wenn der Nenner den Zähler teilt, ist der Quotient exakt 5. Mathematisch liegt das daran, dass für jedes k ungleich 5 die oben genannte quadratische Gleichung keine Lösungen in den natürlichen Zahlen besitzt, die die Bedingung der Ganzzahligkeit des Bruches erfüllen. Antwort: Der Bruch ergibt unter der Bedingung, dass er eine natürliche Zahl ist, für alle natürlichen Paare (a,b) (mit ab>1 ) stets den Wert 5."
Ein eigener Lösungsversuch schlug fehl.

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