Aus einer Mathematik-Olympiade stammt folgende Aufgabe:

Zu zeigen ist: Wenn zwei natürliche Zahlen a unb b so gewählt werden, dass der Nenner des Bruches (a²+b²)/(1+ab) ein Teiler des Zählers ist, d. h., wenn der Bruch eine ganze Zahl ist, dann ist diese eine Quadratzahl.

Nach Zahlenpaaren (a,b), für die das zutrifft, wurde hier auf dem Matheplaneten gesucht. Die Aufgabe galt als schwierig. Der "Diskussionsfaden" (engl. thread ) war diesmal auf Grund eines sehr allgemeinen Ansatzes mit über vierzig Beiträgen besonders lang und nicht immer leicht zu durchschauen.

Hier beginne ich noch einmal von vorn, einfach und direkt. Sei a=n, b=cn; c,nÎℕ, dann ist

Wählt man c so, dass c²=cn² ist, dann gilt

d. h., der Nenner des Bruches wird ein Teiler des Zählers, und der Bruch ist, wie behauptet, eine Quadratzahl:

c²=cn² bedeutet c=n² und somit b= n³, d. h., a=n, b=n³ ist eines der gesuchten Zahlenpaare.

Wegen der Symmetrie des Bruches in a unb b wird (1) auch beim Vertauschen der beiden Zahlen erfüllt: a=n³, b=n. Das ist trivial, führt aber zu der Frage, ob es nicht auch ein solches Paar mit a=n³ und b¹n gibt.

Um darauf zu antworten, wird a=n³ in (1) eingesetzt und b neu berechnet. Die sich dabei ergebende quadratische Gleichung b²-n⁵b+n⁶-n²=0   hat die Lösung


Gilt das Pluszeichen, wird b=n⁵-n, und ein zweites Lösungspaar ist a=n³, b=n⁵-n.



So kann man weiter fortfahren. Wir vertauschen wieder a und b und berechnen b durch Einsetzen von a=n⁵-n in (1). Dabei ergibt sich als drittes Lösungspaar: a=n⁵-n, b=n⁷-2n³.

In einem nächsten Schritt folgt entsprechend das vierte: a=n⁷-2n³, b=n⁹-3n⁵+n. (Bei ihm muss man erkennen, dass die unter der Wurzel stehende Summe n¹⁸-8n¹⁴+20n¹⁰-16n⁶+4n² das Quadrat von n⁹-4n⁵+2n ist.)

Die hier erhaltenen vier Lösungspaare (n;n³), (n³;n⁵-n), (n⁵-n;n⁷-2n³), (n⁷-2n³;n⁹-3n⁵+n) sind einzeln in dem genannten thread verstreut. Die b's werden im zweiten Eintrag vom 10.12. zusammengefasst.

Fortsetzung

Er hat eine unerwartete Besonderheit: wählt man die natürlichen Zahlen x und y so, dass auch er eine natürliche Zahl wird, dann ergibt sich immer dieselbe, und zwar die 5.¹⁾ Das deutet die folgende Tabelle an:
s. a. hier

¹⁾ Ergänzung

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