① Mathematiker, die sich mit Aufgaben zur Zahlentheorie beschäftigen - das vorliegende Rätsel gehört dazu -, sind es gewohnt, auf die Teiler ganzer Zahlen zu achten. Fast alle, die mir auf dem "Matheplaneten" antworteten, begannen damit, daß 2015=5⋅403 und a³-b³=(a-b)(a²+b²+ab) ist. Bei der hieraus entstehenden Gleichung (a-b)(a²+b²+ab)=5·403 setzten sie
a-b=5 und a²+b²+ab=403. Löst man die erste dieser beiden Gleichungen nach b auf und setzt es in die zweite ein, entsteht die quadratische Gleichung a²-5a-126=0 mit der einzigen in Frage kommenden Lösung a=14, was auf b=9 führt.
Ergebnis: 2015=14³-9³.
2015 hat außer der 5 noch die Primteiler 13 und 31. Entsprechende Ansätze mit ihnen wie oben ergeben keine weiteren Lösungen des Rätsels.

② Die Darstellung von a³-b³ als Produkt (a-b)(a²+b²+ab) (Probe durch Ausmultiplizeren!) beruht auf der sogenannten "Polynomdivision" (a³-b³):(a-b), die in den höheren Schulklassen gelehrt und geübt wird. Wer sie nicht kennt oder verwenden möchte, kann so ansetzen: a=b+c, c als natürliche Zahl. Dann folgt aus (b+c)³-b³=2015: b³+3b²c+3bc²+c³-b³=2015,
3b²c+3bc²+c³=2015,  c(3b²+3bc+c²)=5⋅403. Die letzte Gleichung wird erfüllt, wenn c=5 und 3b²+3bc+c²=403 ist und somit 3b²+15b+25=403, 3b²+15b-378=0 gilt, was, auf beiden Seiten durch 3 dividiert, b²+5b-126=0 ergibt. Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man b=9 und a=14 wie bei ①.

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