Kettenbrüche
sind durch Klammern, Plus- (evtl. auch Minus)zeichen
verkettete Quotienten:
x=a/(b+c/(d+e/(f+g/(h+…)))),
weshalb man sie auch
als Kettenquotienten bezeichnen könnte.
Werden darin die Bruchstriche durch Malpunkte
ersetzt:
y=a⋅(b+c⋅(d+e⋅(f+g⋅(h+…)))),
nenne ich das ein
Kettenprodukt.1
Solche
Darstellungen sind weniger bekannt und gebräuchlich als
die Kettenbrüche. Verwendet werden sie z. B. bei der
angenäherten Berechnung von π
:
.png){kind=small}
Beide werden in dem Buch [1]
erwähnt. (1) sei, so heißt es dort, "ohne große Mühe"
mit Hilfe der Euler-Transformation aus der
Leibnizreihe entstanden, was ich selber nicht versucht
habe; die Herleitung von (2) kenne ich nicht.
Ein
weiteres Beispiel ist:.png)
Dieses Kettenprodukt,
das in einschlägigen Büchern und im Internet anscheinend
nirgends erwähnt wird (für entgegengesetzte Hinweise
wäre ich dankbar), läßt sich leicht aus der arcsin
x-Reihe für x=1/2 gewinnen, während die Leibnizreihe
bekanntlich auf der Arkustangensreihe beruht.
Es
gilt.png)
Daraus folgt.png)
.png){kind=small}
woraus sich (3)
ergibt.
Ursprünglich hatte ich vor, für das
Kettenprodukt (1), weil es sehr einfach aussieht, ein
Programm für 1000 Nachkommastellen von π
zu schreiben. Bei der Frage, wie viele Glieder dazu
benötigt werden, fand ich im Internet [2] dies:
Eine Begründung
hierfür wird nicht gegeben, doch ist zu vermuten, daß
die Angabe für k (anders geschrieben: k=n/lg2) auf einer
denkbaren Abschätzung beruht, bei der davon Gebrauch
gemacht wird, daß die Faktoren 1/3, 2/5, 3/7, 4/9, ...
vor den Klammern gegen 1/2 streben. Für n=1000 ergibt
sich, daß bei Verwendung von (1) 3322 Klammern zu
berücksichtigen sind.
Günstiger in dieser
Hinsicht ist (3). Dort streben die Faktoren vor den
Klammern gegen 1/4. Das führt dazu, daß bei diesem
Kettenprodukt für n=1000 Stellen von π nur 1000/lg4=1661 Klammern
berücksichtigt werden müssen; das ist die Hälfte der bei
(1) erforderlichen. Obwohl die Einzelschritte bei (3)
aufwendiger sind als bei (1), ergibt sich trotzdem bei
(3) ein Zeitvorteil. Deshalb schrieb ich ein Programm,
damals noch in Pascal, nicht für (1), sondern für (3).
Es lieferte bei 500 MHz Taktfrequenz meines alten
Computers 1000 Dezimalen von π
in einer Sekunde. (Bei dem Programm wurden das
schriftliche Multiplizieren und Dividieren
nachgeahmt.)
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1
Dieses Wort wird hier für Produkte
verwendet, die außer dem Malpunkt kein anderes
Verknüpfungszeichen enthalten und dem Wallis-Produkt
ähneln.
[1] Arndt, Haenel: p, (1) auf S. 78, (2) auf S. 219
(Gosper). - Anmerkung: (1) wird in dem Buch in
Zusammenhang mit dem sogenannten "Tröpfelalgorithmus"
(engl. spigot algorithm) genannt, der dort ausführlich
beschrieben wird und an verschiedenen Stellen im
Internet zu finden ist. Rezensiert wurde das Pi-Buch auf
dem Matheplanetenhier.
[2] http://www.jjj.de/hfloat/spigot.txt
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