ÿþ<html> <head> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1"> <title>Untitled </title> <style type="text/css"> body{margin-left:12%;margin-right:13%} </style> </head> <body><font face="Arial"><br><br><span style="font-size:13pt; font-family:Calibri"> <br>Die Kettenlinie als Minimalproblem <br><br><span style="font-size:12pt; font-family:Calibri"> Im folgenden wird die Gleichung der Kettenlinie hergeleitet. Diese parabelähnliche Kurve hat ihren Namen von einer unter ihrem Eigengewicht durchhängenden Kette, doch tritt sie auch bei Seilen in Erscheinung und läßt sich zum Beispiel an Hochspannungsleitungen beobachten. <br><IMG src="../bilddateien/kettenli/kett1.gif" align=right hspace=15 vspace=4 alt=Kettenlinie> <br>Hängt man ein Seil locker zwischen zwei Punkten P und Q auf (s. Abb.) und läßt es dann los, kommt es nach einigen unregelmäßigen Bewegungen zur Ruhe. Seine potentielle Energie wird dabei minimal. Begründung: Solange Teile des Seils noch fallen, nimmt deren potentielle Energie ab, und wenn sich nichts mehr bewegt, kann sie sich nicht weiter verringern. <br><br> Ein kleines Seilstück ds der Masse dm an der Stelle x hat die Höhe y und somit die potentielle Energie<br>dW = g y dm &nbsp;(g = Erdbeschleunigung). Das ganze Seil enthält also die potentielle Energie <br> <br><IMG src="../bilddateien/kettenli/kett2.gif"> <br>Wenn das Seil aus homogen verteiltem Material besteht, ist der Quotient dm/ds=<font face=Times New Roman">³<font face="Calibri">A konstant; ds bedeutet dabei das Linienelement &#8730;(1+y'²)dx, <br><font face=Times New Roman">³<font face="Calibri"> die Massendichte und A die Querschnittsfläche des Seils. Seine potentielle Energie ist damit <br> <br> <img src="../bilddateien/kettenli/kett3.gif"> <br> Von allen Kurven gleicher Länge, die zwischen den Punkten P und Q verlaufen können und durch Gleichungen der Form y = F(x) beschrieben werden, soll nun diejenige gefunden werden, bei der der Wert des Integrals W minimal wird. Diese Aufgabe aus der Variationsrechnung, symbolisch durch &#948;W = 0 abgekürzt, führt auf die Euler-Lagrangesche partielle Differentialgleichung <br> <br> <img src="../bilddateien/kettenli/kett4.gif"> <br> <br> mit F(x,y,y')=y&#8730;(1+y'²) in unserem Fall. <br> <br> (Anmerkung: Über die Entstehung dieser berühmten partiellen Differentialgleichung berichtete vor kurzem ausführlich <a href="http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=503"><font color="black"><i>shadowking</i></a></font> auf dem "Matheplaneten" im Zusammenhang mit der Brachistochrone.) <br> <br> Aus (1) ergibt sich die gewöhnliche Differentialgleichung (Rechnung s. u.) <br> <br> 1 + y'² - y y'' = 0       (2) <br> <br> Wegen (sinh x)' = cosh x, (cosh x)' = sinh x und cosh²x - sinh²x = 1 wird sie durch y = cosh x erfüllt. Die allgemeine Lösung mit zwei Integrationskonstanten a, b lautet y = a cosh (x/a+b). Für b=0 wird daraus, anders geschrieben, <br> <br> y = a (e<sup>x/a</sup>+e<sup>-x/a</sup>)/2.     (3) <br> <br> Dies ist die Gleichung der Kettenlinie, wie sie nach [1] zuerst von <i>Leibniz</i> angegeben wurde. <br> <br> Vor Leibniz hatten sich andere namhafte Mathematiker und Physiker darum bemüht, unter ihnen Galilei, Jakob und Johann Bernoulli, Huygens und Pascal. <i>Wie</i> Leibniz zu seiner Lösung kam, konnte ich nicht feststellen. In [1] gibt es lediglich den kurzen Hinweis, er hätte dazu die "logarithmische Kurve" benutzt, mit dem man nicht viel anfangen kann. <br> <br> Die Anwendung der Variationsrechnung auf die Kettenlinie ist "schweres Geschütz". Vielfach findet man statt dessen einen Ansatz mit Kräftezerlegung, z. B. in [2]. Dort ist ohne Begründung von einer <i>konstanten</i>, in waagerechter Richtung wirkenden Kraftkomponente die Rede, die ich nicht verstehe. Auch ergibt sich dabei eine <i>andere</i> Differentialgleichung, nämlich <br> <br> <img src="../bilddateien/kettenli/kett5.gif"> <br> die allerdings ebenfalls die Lösung (3) hat.<br><br> Anmerkung: in [3] wird die Konstanz der Horizontalkomponente verständlich begründet. <br> <br> <i>Literatur:</i> <br> <br> [1] Hartmut Hecht: Gottfried Wilhelm Leibniz, Mathematik und Naturwissenschaften im Paradigma der Metaphysik, B. G. Teubner, Stuttgart/Leipzig, 1992, S. 58 <br> <br> [2] <a href="http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/Projekte/Kettenlinie/loesung.html"><font color="black" target=_blank>http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/Projekte/Kettenlinie/loesung.html</a> <br> <br> [3] <a href="http://www.mathe-seiten.de/kettenlinie.pdf" target=_blank><font color="black">http://www.mathe-seiten.de/kettenlinie.pdf</a> <br> <br> <br> <i>Herleitung von (2) aus (1):</i> <br> <br> <img src="../bilddateien/kettenli/kett6.gif" width="400"> <br> <br> Hans-Jürgen<br> (24.9.03)<br><br> Nachtrag wenige Jahre später: Kettenlinie, schräg von der Seite aufgenommen: <br> <img src="../bilddateien/kettenli/kettenlinie.gif"><br> (Glockenstrang in einem griechischen Kloster)<br> <br><br><span style="font-size:11pt; font-family:Calibri"> <a href="../../start.htm"><font color="maroon"><u>Zurück zur Themenübersicht</u></a> <br><br><br> </body> </html> <br><a href="kettenliergaenz.htm"><font color="darkblue"><u>Ergänzung</u></a>