Über Anschaulichkeit und Flachheit

Dieser Artikel mit einer etwas seltsam klingenden Überschrift wendet sich vornehmlich an Schüler, an Anfänger beim Studium der Astrophysik sowie an interessierte Laien, von denen auf dem zuletzt genannten Gebiet auch ich einer bin. Grundsätzlich Neues enthält er nicht, doch führt er am Ende auf einige Fragen, die vielleicht bei einer anschließenden Diskussion beantwortet werden können.

Ich beginne mit antiker Geometrie. Bei ihr spielte Anschaulichkeit eine bedeutende Rolle. Eine der allerersten Beobachtungen dürfte gewesen sein, dass die Summe der Innenwinkel eines beliebigen (ebenen) Dreiecks stets einen Wert um 180° ergibt. Die Abweichungen davon sind eine Folge von Zeichenungenauigkeit. So galt schließlich als idealisierte Erfahrungstatsache, dass die Winkelsumme exakt 180° beträgt.

Dies lässt sich auch anschaulich begründen. Verschiebt man in dem Dreieck

die Ecken bei A und B, ohne sie zu verdrehen, in den Punkt C,



dann liegt zwischen den Winkeln β und α der Winkel γ'. An ihm ist zu sehen, dass er ebenso groß ist wie der Winkel γ; einen Grund dafür, dass er größer oder kleiner sein könnte, gibt es nicht. Dazu bedarf es keines besonderen Beweises, und so legen wir die Gleichheit von γ' und γ axiomatisch fest.1 Dann folgt aus β+γ'+α=180°: α+β+γ=180°, was zu zeigen war.
1Die beiden Winkel erhalten, nicht nur bei dieser Dreiecksfigur, sondern überall, wo sie sonst auftreten, den Namen "Scheitelwinkel", was zu dem Satz führt: "Scheitelwinkel sind gleich groß".

Es besteht auch die Möglichkeit, umgekehrt vorzugehen, von der ebenfalls Gebrauch gemacht wurde: die Aussage "Die Summe der Innenwinkel eines (ebenen) Dreiecks beträgt 180°." wird sofort zum Axiom erhoben. Dann folgt daraus der Satz über die Scheitelwinkel und vieles andere mehr.

Zum Beispiel kann man mit der Innenwinkelsumme 180° beim Dreieck in dieser Thales2-Figur


die Größe des Winkels γ berechnen, der dem Augenschein nach 90° beträgt:


Da die Dreiecke AMC und MBC gleichschenklig sind, ist der linke Teilwinkel von γ gleich α und der rechte gleich β, d. h. es ist γ=α+β. Wegen α+β+γ=180° ⇔ γ=180°-(α+β) folgt 2γ=180°, γ=90°, wie vermutet.
2 Thales von Milet (gest. um 546 v. Chr.)

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Die antiken griechischen Mathematiker liebten es, geometrische Objekte zu zerschneiden und anders wieder zusammenzusetzen, um neue Erkenntnisse zu gewinnen. Dies zeigt das folgende Beispiel, bei dem nicht Winkel, sondern Strecken und Flächeninhalte eine Rolle spielen:


Den Figuren entnimmt man (a+b)2=2ab+c2, woraus a2+b2=c2 folgt. Das ist der Satz von Pythagoras (um 570 bis 510 v. Chr.), der für viele praktische Aufgaben und die Herleitung weiterer Lehrsätze von Nutzen ist. Ausführlich wird über ihn z. B. hier berichtet. Dort werden auch die "Möndchen des Hippokrates" erwähnt, eine Figur mit krummlinig begrenzten Teilen.

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Nicht immer führt die Anschauung zum richtigen Ergebnis. Auf Grund einer optischen Täuschung wird in dieser Figur

die Strecke AD für wesentlich länger eingeschätzt als die Strecke AB. Dabei sind beide gleich lang, denn die Punkte B und D liegen auf einem Kreis um A. Entdeckt wurde die seltsame Erscheinung von dem Physiker, Mathematiker und scharfzüngigen Philosophen Georg Christoph Lichtenberg (1742-1799).

Auch bei dem folgenden Beispiel:

trügt die Anschauung. Die ersten vier Bilder lassen vermuten, dass das fünfte 32 Teilbereiche hat; es sind aber nur 30.

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Bei dem, was Jahrtausende lang über die Erde gedacht wurde, ging man ebenfalls von der Anschauung aus und hielt sie für eine flache Scheibe, aus der an manchen Stellen einzelne Berge und ganze Gebirge hochragen. Die Kontinente schwammen, so glaubte man, auf dem "Weltmeer", das mit zu der Scheibe gehörte. Seinem Außenrand durfte niemand zu nahe kommen, um nicht versehentlich "hinunterzufallen". Diese Vorstellung wird in [1] durch eine Karikatur angedeutet.

Nicht alle dachten so. Schiffskapitänen auf hoher See war aufgefallen, dass man von weit entfernten anderen Schiffen als erstes die Mastspitzen sieht. Das passte nicht zur Vorstellung der Erde als flache Scheibe. Zu denen, die darin ein Problem sahen und nach einer Lösung suchten, gehörte der griechische Mathematilker Eratosthenes von Kyrene (ca. 276 bis 194 v. Chr.), dem wir auch ein nützliches Primzahlsieb verdanken. Mit einfachen, aber genialen Schattenexperimenten bewies er, dass die Erde Kugelform hat, und er konnte sogar mit bemerkenswerter Genauigkeit die Größe der Erdkugel bestimmen.

Dennoch setzten sich diese Erkenntnisse nur sehr langsam durch. Ähnlich wie bei der Scheibe glaubten viele auf der Nordhalbkugel, dass die auf der Südhalbkugel lebenden Menschen von ihr herunterfallen müssten. Man gab ihnen einen besonderen Namen: "Antipoden", was "Gegenfüßler" bedeutet. Von uns aus gesehen, laufen sie mit den Füßen nach oben und mit dem Kopf nach unten.

Der wagemutige Christoph Columbus (1451?-1506) dagegen nahm die behauptete Kugelgestalt der Erde ernst: er fuhr von Portugal aus nach Westen, hoffte, auf diese Weise nach Indien zu kommen, und hatte damit einen Teilerfolg. Dass zwischen seinem Ausgangshafen und Ziel ein ganzer, riesiger Kontinent liegt, den man später Amerika nannte, konnte er nicht ahnen. Er hielt daran fest, in Indien gelandet zu sein; deshalb heißen die amerikanischen Ureinwohner heute noch Indianer.

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Was nun das Weltall betrifft, so schrieb man ihm bis zum Anfang des 20. Jahrhunderts ebenfalls Kugelgestalt zu - vermutlich der Einfachheit halber, und weil über große Distanzen mit dem Fernrohr keine auffälligen Inhomogenitäten in der Sternenverteilung erkennbar waren, wohin man auch blickte. Obwohl wir selber zu diesem Weltall gehören (ein anderer Name ist "Universum", was einfach "Alles" bedeutet), betrachtete man es dabei in Gedanken von außen. Es war das Entsprechende wie nach dem Wechsel vom geozentrischen zum heliozentrischen Weltsystem: auch dort "sieht" man gedanklich als äußerer Beobachter die von Johannes Kepler (1571-1630) entdeckten und mathematisch beschriebenen Ellipsen, auf denen sich mit geringen Abweichungen die Planeten um die Sonne bewegen.

Gedacht wurde beim Weltall dreidimensional. Die große Kugel, die das Universum repräsentiert, befinde sich, so meinte man, in unserem gewöhnlichen, euklidischen Raum mit den Ausdehnungen Länge, Breite und Höhe. Die Kugeloberfläche sollte von den letzten Einzelsternen und Galaxien gebildet werden, die noch zum Universum gehören. Über ihre Entfernung vom Kugelmittelpunkt gab es keine klaren Vorstellungen.

Allgemein wurde davon ausgegangen, dass das Universum unveränderlich, statisch ist. Die Zeit spielte deshalb bei den Überlegungen keine Rolle. Und wenn jemand es für möglich hielt, dass sich das Univerum doch verändert, wurde die Zeit lediglich als ein von den drei Ortskoordinaten unabhängiger Parameter betrachtet, der in keiner Beziehung zu ihnen steht.

Das geschah unter dem immer noch bestehenden Einfluss Isaac Newtons (1642-1726). Dieser hatte gelehrt, es gebe einen einheitlichen, für das gesamte Weltall gültigen Zeitablauf.

Dies änderte sich ab 1905, als Albert Einstein (1879-1955) seine Spezielle Relativitätstheorie (SRT) vorlegte. Danach haben gegeneinander (gleichförmig) bewegte Systeme eine eigene Zeit, die sogenannte "Eigenzeit". Hierdurch ergibt sich - von allem anderen abgesehen - eine schwer zu verstehende Besonderheit: ein kosmisches Objekt bewegt sich jetzt nicht mehr in einem dreidimensionalen, sondern vierdimensionalen Raum, dem Raum-Zeit-Kontinuum. Die Zeit wird dabei durch eine vierte Koordinatenachse eingeführt, die auf den drei anderen senkrecht steht. Das ist anschaulich nicht mehr begreifbar, sondern lässt sich nur noch mathematisch formulieren. (Dass die Zeit t gegenüber den drei Ortskoordinatenachsen eine Sonderrolle spielt, sieht man auch noch an folgendem: es ist klar, dass sie, wenn sie wie diese von einem gemeinsamen Koordinatenursprung aus als Länge abgetragen werden soll, mit einer Geschwindigkeit multipliziert werden muss; dafür eignet sich naturgemäß die Lichtgeschwindigkeit c. Zusätzlich aber wird in der vierdimensionalen Minkowski-Welt4, die mit der SRT eng verbunden ist, das Produkt ct noch mit der imaginären Einheit i multipliziert. Dadurch wird die Unanschaulichkeit des hierbei verwendeten Zeitbegriffs weiter verstärkt.)
4 Herrmann Minkowski (1864-1909)

Im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts wurde von Edwin Hubble (1889-1953) entdeckt, dass die Abstände zwischen den von ihm beobachteten Galaxien sich vergrößern. Daraus schloss man, dass das sich das Universum insgesamt ausdehnt. Um hierbei ein gewisses Maß an Anschaulichkeit zurückzugewinnen, gibt es unter anderem dieses Gedankenmodell: auf der Oberfläche eines gewöhnlichen dreidimensionalen, kugelförmigen Luftballons sind die Sterne und Galaxien angeklebt. Wird der Ballon mehr und mehr aufgeblasen, entfernen sie sich voneinander. Unklar bleibt (mir), welche Zeit bei dieser Analogie in Betracht gezogen wird. In [2] werden verschiedene Möglichkeiten genannt.

In Darstellungen der modernen Weltraumforschung heißt es, das Universum sei flach. Was ist damit genau gemeint? Wird hierbei das Weltall im Vierdimensionalen als Scheibe gedacht, wie es früher im Dreidimensionalen von der Erde geglaubt wurde?

Geheimnisvoll bleibt die Ursache oder Kraft, die das Weltall anscheinend auseinander treibt und den "Luftballon" weiter aufbläst. Von "dunkler Materie" (oder Energie) mit antigravitativen Eigenschaften ist hier die Rede, doch darauf näher einzugehen, wäre ein neues Thema.

[1] http://www.csn-deutschland.de/blog/wp-content/uploads/2009/10/Erde-Scheibe.jpg
https://de.wikipedia.org/wiki/Flache_Erde
[2] Kosmische Zeit



Re: Über Anschaulichkeit und Flachheit
von
TomS am Sa. 01. Oktober 2011 23:12:54


Ein kurzer Kommentar zum letzten Absatz "Geheimnisvoll bleibt die Ursache oder Kraft, die das Weltall anscheinend auseinander treibt und den "Luftballon" weiter aufbläst, der übrigens auch ein Torus sein kann. Von 'dunkler Materie' (oder Energie) mit antigravitativen Eigenschaften ist hier die Rede, doch darauf näher einzugehen, wäre ein neues Thema. "

Die Ursache der Expansion ist zunächst nicht geheimnisvoll; das folgt direkt aus der ART. 'Dunkle Materie' wirkt (wie gewöhnliche Materie) immer anziehend und ist im Rahmen der ART nichts außergewöhnliches. 'Dunkle Energie' wirkt tatsächlich antigravitativ; sie könnte jedoch auch konventionell als kosmologische Konstante (eine weitere Naturkonstante vergleichbar der Newtonschen Gravitationskonstante) erklärt werden.

 

Re: Über Anschaulichkeit und Flachheit
von
Hans-Juergen am Di. 04. Oktober 2011 23:52:42 http://www.hjcaspar.de


Also jetzt wissen wir's genau: das Weltall dehnt sich aus – und zwar "ewig", s. [4]. Drei Forscher bekamen dafür den Nobelpreis; da muss es ja stimmen. Tröstlich ist: "Das Leben der normalen Hausfrau wird es nicht verändern." [4]

Und dann wird wieder die ominöse Dunkle Energie erwähnt: das Universum besteht zu 70 Prozent aus ihr [4], und zusammen mit der ebenfalls unbekannten Dunklen Materie sind es sogar 95 Prozent. [5] Wer hätte das gedacht!

Sind die beiden (oder eine von ihnen) der neue Äther? Den alten dachte man sich wenigstens durchsichtig, aber dieses schwärzliche Zeug: ein Wunder, dass man trotzdem die Sterne sehen kann. Sonst hätten die drei ja auch nicht den Preis gekriegt.

Aber im Ernst: weil mir bei über 300 Aufrufen meines Artikels bisher nur ein Leser geantwortet hat, wenn auch nicht auf die gestellten Fragen ("kosmologische Zeit", "flaches" Universum), habe ich noch ein bisschen weiter danach gegoogelt. Über die Entstehung, Größe, Form, Krümmumg des Weltalls, seinen Inhalt und einiges mehr berichtet die Wikipedia-Seite [6], und zwar in mancher Hinsicht, wie z. B. über den Urknall, durchaus kritisch. Insgesamt vermittelt sie den Eindruck, dass vieles in der Weltraumforschung lediglich modellhaft, experimentell nicht nachprüfbar, umstritten ist und bei den Erklärungsversuchen mehrere Alternativmöglichkeiten bestehen.

Werden nun die prämiierten, neuen Erkenntnisse mehr Licht in diese "dunkle" Angelegenheit bringen?

Anmerkung: der Nobelpreis soll "denen zugeteilt werden, die im verflossenen Jahr der Menschheit den größten Nutzen geleistet haben."[7] Ist das hier tatsächlich der Fall?

Hans-Jürgen

[4]
newsticker.sueddeutsche.de/list/id/1213719
[5]
www.abendblatt.de/ratgeber/wissen/article2048119/Immer-groesser-immer-weiter-dank-Dunkler-Energie.html
[6]
de.wikipedia.org/wiki/Universum
[7]
de.wikipedia.org/wiki/Nobelpreis


Re: Über Anschaulichkeit und Flachheit
von
TomS am Mi. 05. Oktober 2011 08:16:10


Dass sich das Weltall ausdehnt, wussten wir schon seit Jahrzehnten; dass es sich möglicherweise unendlich lange (jedoch zunehmend verlangsamt) ausdehnt war auch schon lange im Bereich des Möglichen (die Daten wiesen auf ein flaches, sich unendlich lange ausdehnendes Universum hin); das neue an den Messungen aus dem Jahr 1998 ist die Feststellung der BESCHLEUNIGTEN Expansion, die durch etwas anderes angetrieben wird als den Urknall.

Du hast recht, in der Astrophysik ist vieles nicht direkt messbar, insbs. sind die Experimente nicht präparierbar; man muss eben nehmen, was da ist :-)

Die prämierten Ergebnisse bringen da kein zusätzliches Licht in das Dunkel, sondern sie werfen eher Fragen auf: was IST die kosmologischre Konstante (bzw. allgemeiner: die Dunkle Energie)? handelt es sich "nur" um eine Naturkonstante, oder gibt es doch eine Erklärung als "Vakuumenergiedichte" anderer Felder? Wie erklärt man ihren winzigen Wert? Gibt es evtl. Alternativen zu einer Dunklen Energie (ja, die gibt es!) und können sie die Effekte evtl. anderweitig erklären (das weiß man heute noch nicht; insbs. wirken andere Erklärungen ebenfalls ziemlich konstruiert bzw. nicht besonders elegant)? Liefert eine Theorie der Quantengravitation eine Erklärung für die kosmologische Konstante, d.h. auf einen neuartigen Zusammenhang zwischen Phänomenen auf extrem kurzen sowie auf extrem langen Längenskalen (auch darauf gibt es indirekte Hinweise)?

 

Re: Über Anschaulichkeit und Flachheit
von
trunx am Do. 06. Oktober 2011 10:45:26 http://www.gp-i.org


@hans-jürgen: man muss sich einmal klar machen, dass fast alle Daten, die wir über das Universum haben, lediglich aus der Vermessung des zu uns kommenden elektromagnetischen Spektrums herrühren. D.h. Fragen ans Universum können wir nur selten mit einem irdischen, also lokalen Experiment stellen, in der Regel sind wir auf eine "Übersetzung in die Sprache des Lichtes" angewiesen. Und auch die Rückübersetzung ist nicht einfach, also was bedeutet nun genau ein bestimmtes Datum für unser Verständnis vom Universum. Z.B. könnte die prämierte Erkenntnis der beschleunigten Expansion auch ein weiterer Hinweis auf eine in großen Distanzen abstoßend wirkende Gravitation sein.

bye trunx


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