Sechs besondere Punkte auf den Seiten eines Dreiecks

Unter dieser Überschrift veröffentlichte ich auf dem "Matheplaneten" einen kleinen Artikel. Das Folgende enthält Ausschnitte davon und Weiterführendes, das dort nicht erwähnt wird.

Altbekannt ist und unzählige Male wiederholt wurde, daß sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks in dessen Schwerpunkt schneiden. Was aber passiert, so fragte ich mich, wenn man die Seitenhälften nochmals halbiert? Welche Bedeutung haben die dabei entstehenden zusätzlichen Teilungspunkte der Dreiecksseiten?

Dieses Bild

zeigt: Werden die Seiten eines beliebig schiefwinkligen Dreiecks halbiert, so liegen die Mittelpunkte der entstehenden Seitenhälften auf einer ellipsenähnlichen Kurve.

Die Kurve wurde annähernd von Hand skizziert; die sechs Punkte, durch die sie geht, sind:
P(15;0), Q(21;4), R(23,12), S(18;12), T(6;4) und U(5;0).

Mit Hilfe der Gleichung Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0, die einen Kegelschnitt in beliebiger Lage beschreibt, wollte ich prüfen, ob es sich bei der skizzierten Kurve wirklich um eine Ellipse handelt.

Dazu setzte ich die allgemeine Kegelschnittsgleichung für jeden der Punkte P bis U einmal an und erhielt so ein lineares Gleichungssystem aus sechs Gleichungen. Die Anwendung des Gaußschen Algorithmus zur Lösung eines solchen Systems ergab in diesem Fall für alle Koeffizienten A bis F den Wert 0. Eine Ellipsengleichung läßt sich damit nicht aufstellen.

Bei erneutem Nachdenken über meinen rechnerischen Ansatz, der mit den Gleichungen
225A+ 0B+ 0C+15D+0E+F=0
441A+16B+84C+21D+4E+F=0
begann (ihnen folgten vier weitere), sagte ich mir folgendes: Das Gleichungssystem ist homogen;
d. h. rechts von den Gleichheitsszeichen stehen nur Nullen. Ein solches System hat auf jeden Fall eine Lösung, die sogenannte "triviale", bei der alle Koeffizienten A bis F gleich Null sind. Das ist die oben erwähnte, von mir erhaltene; nur nützt sie einem nichts.

Gesucht wird eine Lösung, bei der wenigstens einige der Koeffizienten ungleich Null sind. Mindestens einer der ersten drei muß dabei sein; sonst ergibt sich kein Kegelschnitt. Setzt man A ungleich Null voraus, dann läßt sich jede Gleichung beiderseits durch A dividieren, und es entsteht mit den Bezeichnungen B'=B/A, C'=C/A usw. ein neues Gleichungssystem, das vollständig so aussieht:
  0B'+  0C'+15D'+ 0E'+F'=-225
 16B'+ 84C'+21D'+ 4E'+F'=-441
144B'+276C'+23D'+12E'+F'=-529
144B'+216C'+18D'+12E'+F'=-324
 16B'+ 24C'+ 6D'+ 4E'+F'=-36.

Es besteht nur noch aus fünf statt vorher sechs Gleichungen, da auch nur die fünf Koeffizienten B' bis F' zu bestimmen sind.

Dieses System hat eine eindeutige Lösung, und das bedeutet: durch die Punkte P,Q,R,... geht tatsächlich eine Ellipse, wie anfangs vermutet.

Da die Lösung des Gleichungsssystems lautet: B'=31/16, C'=-7/4, D'=-20, E'=5, F'=75, erhält man durch Einsetzen in die veränderte Kegelschnittgleichung x²+B'y²+C'xy+D'x+E'y+F'=0 und anschließende beiderseitige Multiplikation mit dem Hauptnenner 16 auch die Gleichung der Ellipse:
16x²+31y²-28xy-320x+80y+1200=0.

Danach berechnet und genau gezeichnet (d. h. nicht nur von Hand skizziert), sieht sie so aus:


Die Ellipse wurde rechnerisch ermittelt und mit Computerhilfe gezeichnet. Möchte man statt dessen für ein beliebig vorgegebenes Dreieck die zugehörige Ellipse punktweise von Hand konstruieren und andeuten, ist folgendes möglich:

Hierbei werden die sechs Mittelpunkte der Seitenhälften am Schwerpunkt des Dreiecks gespiegelt, der zugleich der Mittelpunkt der Ellipse ist. Man erhält zwölf Ellipsenpunkte.

Um mehr Punkte zu bekommen, ist das folgende, aus Figur 1 hervorgehende Bild von Nutzen:


Demnach ist die Strecke zwischen einem Eckpunkt und dem Schwerpunkt des Dreiecks im Rahmen der Zeichengenauigkeit ungefähr dreimal so lang wie die Strecke zwischen dem Eckpunkt und dem nächstgelegenen Ellipsenpunkt auf der betreffenden Schwerlinie.¹ Da das Dreieck ganz willkürlich gewählt wurde, nehme ich an, dass Ähnliches auch für andere Dreiecke bei dieser Ellipsenkonstruktion gilt.

Angewandt auf die zweite der obigen beiden kleineren Teilfiguren, ergeben sich drei neue Ellipsenpunkte (orange):

und wenn man sie am Schwerpunkt spiegelt, kommen drei weitere hinzu (violett).

Mit diesen insgesamt achtzehn Punkten lässt sich die Ellipse von Hand recht ordentlich skizzieren:


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¹ Die genaue Rechnung (Schnitt Schwerlinie – Ellipse) ergibt für die Ecke im Ursprung 0M/0E » 2,954.

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